湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中2018届高三上学期期中联考数学文

醴陵市2018届高三第一次联考试题

数学（文科）

考试时量：120分钟；总分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题仅有一个答案是正确的）

1．若复数z=，其中i为虚数单位，则Z的共轭复数=（）

1. 1+i B. 1﹣iC. ﹣1+i D. ﹣1﹣i

2．设全集U=R，集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={x|x-1≥0}，

则图中阴影部分所表示的集合为（）

A. {x|x≤-1或x≥3} B. {x|x＜1或x≥3}

C. {x|x≤1} D. {x|x≤-1}

3．数列的前2017项的和为（）

A.B.C.D.

4．在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（）

A.B.C.D.

5．已知，则的值为（）

A.B.C.D.

6．已知，，，则实数的大小关系为（）

A.B.

C.D.

1. 如右程序框图的算法思路源于我国古代数学
   名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行
   该程序框图，若输入分别为14,18，
   则输出的 ( )
   1. 0 B. 2

C. 4 D. 14

8．函数(且)与函数在同一坐标系内的图象可能是（）

A.B.C.D.

9．已知首项为正数的等差数列的前项和为，若和是方程的两根，则使成立的正整数的最大值是（）

A. 1008 B. 1009C. 2016 D. 2017

10．如图，在平行四边形中，与相交于点，为线段的中点.若（），则（）

1. 1B.

C.D.

11．某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是( )

1. B.

C.D.

12．设满足，且在上是增函数，且，若函数对所有，当时都成立，则的取值范围是（）

A.B.或或

C.或或D.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知满足约束条件，则的最小值为_______．

14．已知点P（1,1）在直线a x+4 b y - 1 = 0(ab>0)上，则的最小值为．

15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:

甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”

丙说：“两项作品未获得一等奖” 丁说：“是或作品获得一等奖”

若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．

16．已知直线交抛物线于E和F两点，以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为，则k=__________ .

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题需要写出必要的解答过程）

17．(本小题满分12分)

在中，分别是角的对边，.

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积的最大值.

18．(本小题满分12分)

我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）分别求第3，4，5组的频率．

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，我市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

19．(本小题满分12分)

如图，多面体中，,平面，且.

（Ⅰ）为线段中点，求证：平面；

（Ⅱ）求多面体的体积.

20．(本小题满分12分)

已知椭圆E:经过点P(2,1)，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．

21．(本小题满分12分)

已知函数，函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若，求证不等式.

22．(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为．

（1）写出直线的普通方程和圆C的直角坐标方程．

（2）若点P坐标为（1，1），圆C与直线交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

醴陵市2018届高三第一次联考数学（文科）参考答案

一选择题

8．A

【解析】两汉素分别为指数函数和二次函数，二次函数的对称轴为直线，当时，，当时，，观察图象可知A选项符合.

故选A.

9．C

【解析】依题意知，数列的首项为正数，

，

，

使成立的正整数的最大值是，故选C.

10．B

【解析】∵为线段的中点，

∴

∴

故选：B

11．A

【解析】根据三视图可知，该多面体为镶嵌在正方体中的四棱锥，故外接球直径即正方体的体对角线长，

故选：A

12．B

【解析】若函数对所有的都成立，由已知易得的最大值是1，∴，设，欲使

恒成立，则 或或，故选B.

二填空题

答案：13．-514．915．C16．

15．【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．

16．【解析】

试题分析：直线恒过定点，而为抛物线的焦点，则，圆心到轴的距离为，圆的半径为，联立消去得，，则，所以根据垂径定理有，代入计算得.

三解答题

17．解析：（Ⅰ）因为，

所以，

由正弦定理得，……………………….1分

即，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

又，所以，

所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

在中，，所以。。。。。。。。。。。。5分

由得．。。。。。。。。。。。。。。。。 6分（注：缺条件扣1分）

（Ⅱ）由余弦定理得：，。。。。。。。。。。。。8分

∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

∴，

当且仅当时“”成立，此时为等边三角形，

∴的面积的最大值为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

评析：提醒学生注意解题的严谨性

18．解析:（1）由题设可知,第3组的频率为0．06×5=0．3，

第4组的频率为0．04×5=0．2，

第5组的频率为0．02×5=0．1．。。。。。。。。。。。。。。。。3分（每对一个记1分）

1. 因为第3，4，5组的人数之比为,

所以利用分层抽样的方法在三个组中总共抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为：

　　第3组：；第4组：；第5组：．

所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．。。。。。。。。6分

（3）设“第4组的2名志愿者中至少有一名志愿者被抽中”为事件A。。。。。。7分

记第3组的3名志愿者为A₁，A₂，A₃，第4组的2名志愿者为B₁，B₂，第5组的1名志愿者为C₁．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：

（A₁,A₂）, （A₁,A₃）,（A₁,B₁）,（A₁,B₂）,（A₁,C₁）,（A₂,A₃）,（A₂,B₁）,（A₂,B₂）,（A₂,C₁）,（A₃,B₁）,（A₃,B₂）,

（A₃,C₁）,（B₁,B₂）,（B₁,C₁）,（B₂,C₁），共有15种。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分．

其中第4组的2名志愿者B₁,B₂至少有一名志愿者被抽中的有：

（A₁,B₁）, （A₁,B₂）, （A₂,B₁）, （A₂,B₂）, （A₃,B₁）, （A₃,B₂）, （B₁,B₂）, （B₁,C₁）, （B₂,C₁），共有9种．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分

由古典概率公式得P（A）=…………………………………….11分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

评析：提醒学生注意第3小题解题步骤的规范与完整

1. 解析：（Ⅰ）取中点，连接CN和MN,

为梯形ADEF的中位线

∥AF。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分

∵FA平面FAB,MN平面FAB

∴MN∥平面FAB....................................2分

∵四边形ABCN为矩形

∴CN∥AB。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

∵FA平面FAB,CN平面FAB

∴CN∥平面FAB。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

∵MNCN=N

∴平面平面

∵CM平面CMN。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

∴平面

（注意：另一方法酌情给分）

评析：提醒学生注意尽量不用课本外的公式与定理解题，万一使用也要先证明再使用

（Ⅱ）

……………………………………8分

…………………………………………10分

。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

评析：提醒学生注意分步解答，尽量不列综合算式。

20．解析：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=，则a²=4b²，。。。。。2分

将P（2，1）代入椭圆，则，解得：b²=2，则a²=8，。。。4分

∴椭圆的方程为：； 。。。。。。。。。5分

评析：第20题第一问为基础题，所有学生不容错过！

（Ⅱ）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，

当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），

由消去y得（1+4k²）x²+8ktx+4t²﹣8=0，·则△=16（8k²﹣t²+2）＞0，

x₁+x₂=，x₁x₂=，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），…..8分

因此M点坐标为（0，），同理可知：N（0，），…9分

由，则+=0，

化简整理得：（2﹣4k）x₁x₂﹣（2﹣4k+2t）（x₁+x₂）+8t=0，

则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

化简整理得：（2t+4）k+（t²+t﹣2）=0，·

当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.。。。。。。。。。。12分

评析：提醒学生注意直线与圆锥曲线位置关系的解题套路，争取多拿分

21．解析：（Ⅰ）g(x)的定义域为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分

，

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

当时，在上恒成立

所以g(x)的增区间，无减区间。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

当时，令得

令得

所以g(x)的增区间，减区间。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

评析：提醒学生注意含一个参数的函数单调性判断问题中分类讨论思想的应用

（Ⅱ）

即在上恒成立

设，考虑到

，在上为增函数。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

，

当时，

在上为增函数，恒成立。。。。。。。。。。。。。。7分

当时，，在上为增函数

，在上，，递减，

，这时不合题意，

综上所述，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

（Ⅲ）要证明在上，

只需证明。。。。。。。。。。。9分

由（Ⅱ）当a=0时，在上，恒成立

再令

在上，，递增，

所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

即，相加，得

所以原不等式成立.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

22．解析：（1）直线l的参数方程为（t为参数）．

消去参数t可得：直线l的普通方程为：；。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

圆C的方程为．即，

可得圆C的直角坐标方程为：．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）将代入得：，。。。6分

得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

则。。。。。。。。。。。。。。10分

评析：提醒学生掌握直线的标准型参数方程中参数的几何意义