湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中2018届高三上学期期中联考数学理

醴陵市2018届高三第一次联考数学试题(理科）

注意事项：1．考试时量：120分钟；总分：150分

2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

3．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={1，2，3，4}，，则A∩B=（　　）

A．{1，2}B．{1，2，4}C．{2，4}D．{2，3，4}

2.设复数z满足=i，则|z|=（　　）

A．1B.C．D．2

3.等差数列{a_n}中，a₃，a₇是函数f（x）=x²﹣4x+3的两个零点，则{a_n}的前9项和等于（　　）

A．﹣18B．9C．18D．36

4．在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为（　　）

A． B． C. D.

5．为了得到函数图象，可将函数y=sin3x+cos3x图象（　）

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向右平移个单位D．向左平移个单位

6.如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）（）

(第6题) （第7题）

A．B．C．D．

7. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：f(x)＝x²，f(x)＝，f(x)＝e^x，f(x)＝sinx，则可以输出的函数是(　)

A．f(x)＝x²B．f(x)＝C．f(x)＝e^xD．f(x)＝sinx

8.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（　　）

A．B．C．2D．

9、函数y=ax²+bx与（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（　）

A．B．

C．D．

10.过抛物线y²=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（　　）

A．B．C．D．

11.如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：

①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的为（　　）

A．①③B．③④C．①②D．②③④

12.设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在a，b]⊆D（a＜b），使f（x）在a，b]上的值域也是a，b]，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则t的取值范围是（　　）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13.若向量，，满足，则x=　　．

14.若的二项展开式中，含项的系数为7，则实数a=　　．

15. 已知函数，若0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为　　．

16.在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为，令．

1. 数列的通项公式为=____________；
2. =___________．

三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（一）必考题：共60分

17、（本题满分10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，c=．

（Ⅰ）求；（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为，求角C．

18、（本题满分12分）如图,在四棱锥中，平面，底面是菱形，，为与的交点，为上任意一点.

（1）证明：平面平面；

（2）若平面，并且二面角的大小为，求的值.

19（本题满分12分）.微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．

（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；

（2）为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．

20．（本题满分12分）

如图，点P(0，−1)是椭圆C₁：的一个顶点，C₁的长轴是圆C₂：的直径．是过点P且互相垂直的两条直线，其中交圆C₂于A，B两点，交椭圆C₁于另一点D．

（1）求椭圆C₁的方程；

（2）求△ABD面积取最大值时直线的方程．

【来源：全,品…中&高*考+网】

21.（本小题满分12分）设函数．

（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．

(二)选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为=2.

（Ⅰ）分别写出的普通方程，的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知M，N分别为曲线的上、下顶点，点P为曲线上任意一点，求的最大值．

23．（本小题满分10分）设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|

（I）解不等式f（x）≥2；

（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤

醴陵市2018届高三第一次联考理科数学参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

　　　　　第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13.１　　　14.１　　　15. （1，2）　16.

三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（一）必考题：共60分

17、（本题满分12分）

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，

则=，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，

所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，……….3分

由正弦定理，a=b，则=1；……….5分

（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为，a=b、c=，

所以S=absinC=a²sinC=，则，①………8.分

由余弦定理得，=，②……….10分

由①②得，cosC+sinC=1，则2sin（C+）=1，sin（C+）=，

又0＜C＜π，则C+＜，即C+=，解得C=…12分．

18、（本题满分12分）

答案及解析：（1）证明略；……….4分

（2）连结，因为平面，

所以，所以平面

又是的中点，故此时为的中点，

以为坐标原点，射线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.……….6分

设则，

向量为平面的一个法向量……….8分

设平面的一个法向量，

则且，

即，

取，则，则………10分

解得

故……………………………12分

19（本题满分12分）.

【解答】解：（1）根据题意，有

，

解得x=9，y=6，∴p=0.15，q=0.10，

补全频率分布图有右图所示．……….5分

（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10×=4人，“非网购达人”有10×=6人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，……….7分

P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，

P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，……….11分

∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ==．……….12分

20.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得

所以椭圆C的方程为．……...4分

（Ⅱ）设D(x₀，y₀)．由题意知直线l₁的斜率存在，不妨设其为k，则直线l₁的方程为

y=kx−1．

又圆C₂：x²+y²=4，故点O到直线l₁的距离d=，

所以|AB|=2=2．..……..6分

又l₁l₂，故直线l₂的方程为x+ky+k=0．

由消去y，整理得(4+k²)x²+8kx=0

故x₀=−．..……..8分

所以|PD|=．..……..9分

设△ABD的面积为S，则S=|AB||PD|=，..……..10分

所以S==，

当且仅当k=±时取等号

所以所求直线l₁的方程为y=±x−1..……..12分

21.（本小题满分12分）

解：（1）由已知得，

因在上为减函数，故在上恒成立。……1分

所以当时。

又，…….2分

故当时，即时，.

所以，于是，故的最小值为. ……...4分

（2）命题“若存在,，使成立”等价于

“当时，””. ……….5分

由（1），当时，，.

问题等价于：“当时，有”. ..……..6分

1. 当，由（1），在为减函数，
   则，故. ……….7分
2. 当时，由于在上的值域为

（i），即，在恒成立，故在上为增函数，

于是，，矛盾。……….8分

（ii），即，由的单调性和值域知，

存在唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；当时，，为增函数；

所以，，………...10分

所以，，与矛盾。

综上得………...12分

(二)选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

答案及解析：

试题解析：（1）曲线的普通方程为，……………………2分

曲线的普通方程为. ……………………4分

（2）法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知.

因此

……………………6分

.

所以当时，有最大值28，……………………8分

因此的最大值为. ……………………10分

法二：设点坐标为，则，由题意可知.

因此

……………………6分

.

所以当时，有最大值28，……………………8分

因此的最大值为. ……………………10分

23．（本小题满分10分）

【解答】（Ⅰ）解：由已知可得：，

由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．

所以，f（x）≥2的解集为{x|x≥1}；……………………5分

（II）证明：由（Ⅰ）知，|x+2|﹣|x﹣2|≤4，

由于0＜y＜1，

则=（）y+（1﹣y）]=2++≥2+2=4，

则有．……………………10分