甘肃省兰州二十七中2016届高三上学期第一次月考数学（理）试卷

兰州二十七中2015—2016学年度第一学期月考试题

高三数学（理科）

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题，22个小题，满分150分，考试时间为120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.若集合,,则( )

A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D.φ

2.已知复数(为虚数单位),则等于(　　)

1. B.C.D.

3.设A,B是两个集合,则是的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.在等差数列中,已知,则=(　 )

A.10 B.18 C.20 D.28

5.设,函数,则( )

1. B.4 C.D.6

6.三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱SB的长为( )

1. B.C.D.

7.直线与圆相交于A,B两点,则弦|AB|=( )

1. B.C.D.

8.给出一个如图所示的流程图,若要使输入的x 值与输出的y 值相等, 则这样的x 值的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.点A,B,C,D均在同一球面上,且AB,AC,AD两两垂直,且AB=1,AC=2,AD=3,则该球的表面积为( ) B.C.D.

10.函数的图像是( )

11.已知分别是椭圆的左,右焦点,现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过的直线是圆的切线,则椭圆的离心率为( )

1. B.C.D.

12.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立.则( )

1. B.

C.D.

第II卷

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.已知向量,,若存在实数,使得,则实数为___.

14.已知变量满足约束条件,则的最大值是_______.

15.已知点在曲线上，为曲线在点处切线的倾斜角，则的取值范围是

16．给出下列四个命题：

①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为

②若为锐角，，则

③是函数为偶函数的一个充分不必要条件

④函数的一条对称轴是

其中正确的命题是.

三、解答题（共6题，80分）

17.(本题满分10分)

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,.

⑴求△ACD的面积;

⑵若,求AB的长.

18.(本小题满分12分)

某班50位学生2015届中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示,其中成绩分组区间是:.

⑴求图中x的值;

⑵从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,这2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.

19.(本小题满分12分)

已知正方体的棱长为2,是AC的中点,E是线段上一点,且.

（1）证:⊥AC;

⑵若平面CDE⊥平面,求的值,并求二面角E-CD-A的余弦值.

20.(本小题满分12分)

如图,已知点是离心率为的椭圆C:()上的一点,斜率为的直线BD交椭圆C于B,D两点,且A,B,D三点互不重合.

⑴求椭圆C的方程;

⑵求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.

21. (本小题满分12分)

已知其中

（1）求的单调区间;

（2）设，函数在区间上的最大值为，最小值为，求的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图，是⊙的一条切线，切点为，

都是⊙的割线，

（1）证明：;

（2）证明：∥.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点O）三点

（1）求证：；

（2）当时，B，C两点在曲线上，求与的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）解不等式；

（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围.

兰州二十七中2015—2016学年度第一次月考试题

高三数学(理)答案

1 D,2 A,3 C,4C,5 C,6 B,7 D,8 C,9 B ,10B,11 A,12A

（Ⅱ 非选择题）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置)

13．；14．9；15．；16．②③④．

三、解答题：解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.解：⑴因为∠D=2∠B,,所以.

因为,所以,所以△ACD的面积.

⑵在△ACD中,,所以.

因为,,所以,得AB=4.

18.解：⑴由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018.

(理)⑵由题意知道:不低于80分的学生有12人,90分以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0,1,2;

;;,

∴.

ξ	0	1	2
P

19.解:⑴∵,,∴⊥面.

∵面,∴⊥.

(理)⑵∵AC⊥平面,∴AC⊥DE,要使平面CDE⊥平面,只需DE⊥平面,即需DE⊥,

(∵DE⊥AC,∴DE⊥平面,由,则,∴在Rt△中,,

∴,∴,∴,∴,∴.

以DA,DC,分别为x,y,z轴建立直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),O(1,1,0),.

,设平面EDC的法向量为,则有,得,

得,令,得.又平面CDA的法向量为,设E-CD-A的平面角为,

故.

20.解：⑴由题意,可得,代入得,又,

解得,,所以椭圆C的方程.

⑵证明:设直线BD的方程为,又A,B,D三点不重合,∴,设,,

则由得,所以,

∴所以.,,设直线AB,AD的斜率分别为,,

则;

所以,即直线AB,AD的斜率之和为定值.

21.（12分）（1）

令

当时，单调递增，在上单调递减

当时，单调递增，在上单调递减

（2）由知在上递减，在递增

设

所以上单调递减，

所以

22.（10分）（1）证明：因为是的一条切线，为割线

所以，又因为，所以

（2）由（1）得

∽

∥

23.解（1）依题意

+4cos

=+=

=

（2） 当时，B,C两点的极坐标分别为

化为直角坐标为B，C

是经过点且倾斜角为的直线，又因为经过点B,C的直线方程为

所以

24．解：（1）-2当时，,即，∴；

当时，,即,∴

当时，,即,∴16

综上，{|6}

（2）函数的图像如图所示：

令，表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时，；

∴当-2，即-2时成立；当，即时，令，得,

∴2+,即4时成立，综上-2或4。