甘肃省兰州二十七中2016届高三上学期第二次月考数学（文）试卷

兰州市二十七中高三年级第二次月考数学试卷

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.满分150分, 考试时间为120分钟.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（下列各题只有一个选项符合要求，请将正确选项的代码填入答题卡中，每小题5分，共60分）

1．已知集合M = {x|x²－2x－3< 0}和N = {x|x >1}的关系如图所示，则阴影部分所表示的

集合为

A．{x|x >1}B．{x|x< 3}

C． {x | 1 < x< 3} D．{x|－1< x< 1}

2. 设复数z满足，则|z |=（ ）

A．B．C．1D．2

3. 设为两个不同平面，m、n为两条不同的直线，且命题p：若m∥n,则∥β；命题q：若m⊥β, 则α⊥β. 那么（ ）

A．“p或q”是假命题B．“p且q”是真命题

C．“p或q”是假命题D．“p且q”是真命题

4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”

C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

5. 在平面直角坐标系中，已知向量若，则x=( )

A．-2B．-4C．-3D．-1

6.各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则(　　)

1. B.C.D.

7．将函数图像上所有点向左平移个单位，再将各点横坐标缩短为原

来的倍，得到函数f(x)，则

A．f(x)在单调递减B．f(x)在单调递减

C．f(x) 在单调递增D．f(x) 在单调递增

8. 函数的图象大致是 ( )

A． B. C. D.

9. 某程序框图如下图所示，判断框内为“？”，为正整数，若输出的，则判断框内的( )

A．3B．4C．5D．6

第9题图

第10题图

10. 如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如

图，则该几何体的全面积为（ ）

A．2+3B．2+2

C．8+5D．6+3

11．已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲

线的左支没有公共点,则此双曲线离心率的取值范围是( )

A．B．C．D．

12．已知函数y＝f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x)．当x∈(2，3)时，f(x)＝log₂(x－1)．给出以下4个结论：其中所有正确结论的为（ ）

①函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称；

②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数；

③函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增；

④当x∈(－1，0)时，f(x)＝－log₂(1－x)．

A．①④B．②③ C．①②④D．①②③④

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二.填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在答题卡的横线上)

13.已知a>0,b>0，a+b=1,则的最小值是 ．

14. 在△ABC中，若，则角C = ．

15.已知实数满足，若当且仅当在点（3,2）处取得最大值，则实数的取值范围为 ．

16. 对任意实数a，b定义运算“”：设，若函数恰有三个零点，则实数k的取值范围是______________.

三.解答题 (本大题6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请将解题过程填写在答题框中,否则不计分.)

17． (本小题满分12分)等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃＝5，S₁₀＝75.

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝，求数列{b_n}的前n项和T_n.

18.（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：

评估的平均得分
全市的总体交通状况等级	不合格	合格	优秀

（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；

（2）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

19．(本小题满分12分) 如图，在三棱锥S -ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC＝，M为AB的中点．

（I）证明：AC⊥SB;

（II）求点B到平面SCM的距离。

20.（本小题满分12分）设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点.

(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

(2)设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

21. （本小题满分12分）对于函数，若存在，使，则称是的一个＂不动点＂.已知二次函数

（1）当时，求函数的不动点；

（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．

（1）求证：直线是⊙的切线；

（2）若⊙的半径为3，求的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C₁：(t为参数，且t≠0)，其中0≤α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ＝2sinθ，C_3:ρ＝2cosθ.

(1)求C₂与C₃交点的直角坐标；

(2)若C₁与C₂相交于点A，C₁与C₃相交于点B，求|AB|最大值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

（1）解关于的不等式；

（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．

兰州市二十七中高三年级第二次月考《数学》试卷答案

一、选择题（每题5分，共60分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13. 9 14.

15.a<1 16.

三、解答题

17.(本题共12分)

解：（1）解得……………………………………..3分

数列的通项公式为a_n＝n+2(n∈N^*)．……………………………………..5分

(2)b_n＝，则

T_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n

＝

＝

18.(本题共12分)

解：（Ⅰ）6条道路的平均得分为.-----------------3分

∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分

（Ⅱ）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过”. -----7分

从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件--------9分

事件包括，，，，，，共个基本事件，

∴．

答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为.------12分

19.（本题共12分）

（Ⅰ）证明：如图，取AC的中点D，连接DS，DB．

因为，，

所以，，

所以，又，

所以． ………………………………（6分）

（Ⅱ）解：因为，

所以.

如图4，过D作于E，连接SE，则，………………………（8分）

所以在中，，，

，CM是边长为2的正△ABC的中线，，

，

．……………………………………（10分）

设点B到平面SCM的距离为h，

则由得，

所以．……………………………………………（12分）

20.（本题共12分）

解：（1）易知，，所以，，设P，则

因为，

故当，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值－2；

当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.

（2）显然直线不满足题设条件.

可设直线：，A（），B（）

联立，消去，整理得：

∴，

由得：或①

又

∴

又

∵，即，∴②

故由①②得或.

21.（本题共12分）

选做题

22.（本题共10分）证明：（Ⅰ）如图，连接OC,OA =OB,CA=CB,

是圆的半径，是圆的切线． （3分）

（Ⅱ）是直径，

又

²（5分）

∽（7分）

设，则，…．（9分）

（10）分

23．选修4—4：坐标系与参数方程

解(1)曲线C₂的直角坐标方程为x²＋y²－2y＝0，曲线C₃的直角坐标方程为x²＋y²－2x＝0，联立两方程解得或，所以C₂与C₃交点的直角坐标为(0，0)，.

(2)曲线C₁极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π，因此点A的极坐标为(2sinα，α)，点B的极坐标为(2cosα，α)．

所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4sin，当α＝时|AB|取得最大值，最大值为4.

24．选修4－5：不等式选讲