甘肃省兰州二十七中2016届高三上学期第二次月考数学（理）试卷

兰州二十七中2015—2016学年高三第二次月考

数 学 试 题（理科）

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.满分150分，时间120分钟

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．的值是()

A．B．C．D．

2．已知集合且，若( )

A．B．C．D．

3．已知则等于()

A．　　　　B.　　　　C.　　　　D.

4. 已知等差数列()

A.420B.380C.210D.140

5设函数,( )

1. 3 B . 6 C. 9 D. 12
   6. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=那么的值 ( )
   A．B．－C．D．－
   7.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为 120°，则E的离心率为
   A. √5 B. 2 C .√3 D. √2
   8．凸多边形各内角依次成等差数列，其中最小角为120°，公差为5°，则边数等于（ ）
   A．B．C．16或9D．12
   9．已知函数（a为常数）的定义域为，的最大值为6，则a等于（ ）
   A．3 B．4 C．5D．6
   10. 已知向量，若向量∥，则x=( )
   1. B. D. -2 D. 2

11.若展开式的二项式系数和为，则展开式中所有理项共有（ ）项

A．2 B．3 C．4 D．6

12.在三棱锥中，侧棱、、两两相互垂直，且、、的面积分别为.则三棱锥的外接球的体积为( )

A.B.C.D.

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13．已知，且满足，则的最小值为 ．

14 已知，，与的夹角为，要使与垂直，则=

15． 已知函数，若函数有三个零点，则实数 的取值范围是 。

16. 已知函数的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,为的导函数，函数y=的图象如右图所示，若两正数a，b满足，则的取值范围是 ．

三、解答题（要求写出必要的计算步骤和思维过程。）

17．（本小题满分12分）

数列各项均为正数，其前项和为，且满足．

（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设， 求数列的前n项和，并求使对所有的都成立的最大正整数m的值．

18.（本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右：

（1）估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；

（2）从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人,其中从身高在185～190 cm之间选取的人数记为Ｘ，求Ｘ的分布列和期望。

19.（本小题满分12分）已知函数:

（1）若的表达式；

（2）若函数上单调递增，求b的取值范围

20．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AD上移动.

（1）证明：D₁E⊥A₁D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

（3）AE等于何值时，二面角D₁—EC—D的大小为.

21. (本小题满分12分)

已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点.

（1）求双曲线C₂的方程；

（2）若直线与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且与C₂的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.

22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲

已知四边形ACBE,AB交CE于D点，，BE²=DE-EC.

(I)求证:；

(II)求证：A、E、B、C四点共圆.

23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.

（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线,试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；

（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值.

24．不等式

（1）已知a、b、c、d∈R，求证：ac＋bd≤.

（2）已知，则的范围是___________.

兰州27中2013届高三第四次月考数学(理科)试卷参考答案

1--12 ADACC DDBAD CA

13、3 14、 2 15、(0，1) 16、

17．解：（Ⅰ）∵，∴当n≥2时，，

整理得，（n≥2），（2分）又， （3分）

∴数列为首项和公差都是1的等差数列． （4分）

∴，又，∴（5分）

∴n≥2时，，又适合此式

∴数列的通项公式为（7分

（Ⅱ）∵（8分）

∴

=（10分）

∴，依题意有，解得，

故所求最大正整数的值为3（12分）

18. 解：（1）由统计图知，

样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35（人）， ……2分

样本容量为70， ……3分

所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5．……4分

故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率Ｐ₁＝0.5．……5分

(2)由题意可知=0，1，2 ……7分

, ……8分 ……9分

……10分

的分布列为

X	0	1	2

……11分

的期望为。 ……12分

19．解：（1）

（2）

x		－2
	+	0	－	0	+
	↗	极大	↘	极小	↗

上最大值为13……………………………………………………（8分）

（3）上单调递增

又

依题意上恒成立

①在

③在

综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0………………………………12分

20 满分12分

解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，

，设平面ACD₁的法向量为，则

也即，得，从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

（3）设平面D₁EC的法向量，∴

由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴（不合，舍去），.

∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为.

21、（Ⅰ）设双曲线C₂的方程为，则故C₂的方程为

（II）将

由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得

即①

.

由直线l与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B得

解此不等式得③

由①、②、③得

故k的取值范围为

22.证明：(Ⅰ)依题意，，，

所以,………………2分

得,

因为,

所以,又，

可得.……………………5分

(Ⅱ)因为

因为，

所以,即,又,,

所以，………………7分

因为，

因为，即，由(Ⅰ)知，

所以

即

所以、、、四点共圆.………………10

23.解(Ⅰ) 由题意知，直线的直角坐标方程为：2x-y-6=0，………………2分

∵曲线的直角坐标方程为：，

∴曲线的参数方程为：.………………5分

(Ⅱ) 设点P的坐标，则点P到直线的距离为：

，………………7分

∴当sin(60⁰－θ)=-1时，点P(-，此时.…………10分

24（1）.证明：∵(a²＋b²)(c²＋d²)＝a²c²＋b²c²＋a²d²＋b²d²

＝(a²c²＋2abcd＋b²d²)＋(b²c²－2abcd＋a²d²)＝(ac＋bd)²＋(bc－ad)²≥(ac＋bd)²，

∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.

（2）

解. 令，则，而