甘肃省武威六中2018届高三一轮复习第四次过关数学（理）试卷及答案

武威六中2017-2018学年度高三一轮复习过关考试（四）

数 学（理）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则( )

A．B．C．D．

2．设复数，则复数的模为( )

1. B.C.D.

3.已知，则是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4.设为等差数列，公差，为其前项和. 若，则（ ）

A．18 　　 B．20 　 C．22 　 D．24

5.设，满足约束条件，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．

6．当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)

A．7

B．42

C．210

D．840

7.若，则

1. B. C. 1 D.

8.函数的图象为（ ）

9.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（　　）

A．

B．

C．

D．

10.已知函数，且,，则以下结论正确的是（ ）

1. B. 　　 C. 　 D.

11.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）

1. B.C.D.

12. 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 ( )

1. B.C.D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知点则在方向上的投影 .

14.设若是与的等比中项，则的最小值为 .

15.设是定义在上的周期为的函数，当时，

，则=___________.

16.已知三棱锥三点均在球心为的球表面上，，，三棱锥的体积为，则球的表面积是___________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题12分） 已知数列满足，，其中为的前项和，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，的前项和为，且对任意的正整数都有，求的最小值．

18. （本小题12分）如图，在四边形中，，　且为正三角形.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求和的长．

19.（本小题12分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.

（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

20.（本小题12分）如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若时，求二面角的余弦值．

21.（本小题12分）已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．

22.（本小题10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线（）与曲线分别交于两点，求．

高三数学第理科四次参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

12.解析：原式变形为，在区间是单调递增，是单调递减，所以的值域是的子集，对任意的，总存在唯一的，使得成立，所以，且，解得：，当时，存在两个不同的实根，因此舍去，所以的取值范围是，故选C.

【点睛】本题考查了函数的单调性，不等式的恒成立和存在问题，属于中档题型，，，使，即函数的值域是值域的子集，若使，即说明的最小值大于函数的最小值，就转化求两个函数最值的问题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.14.15.16.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.解（1），，，

两式相减得

注意到，，

于是，所以.

（2）

所以的最小值为.

18.解（Ⅰ）因为，

所以

所以

（6分）

（Ⅱ）设，，在和中由余弦定理得

代入得

解得或（舍）

即，（12分）

19.解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；

则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，

P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，

P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，

P（X=3）=××=；

所以，随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P

随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；6分

（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，

则所求事件的概率为

P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）

=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）

=×+×

=；　　　（12分）

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．

20.（1）证明：连结，因，是的中点，故．

又因平面平面，故平面， 于是．又，所以平面，所以，又因，故平面，所以． 5分

（2）由（1），得，不妨设，，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，从而

设平面的法向量，由，

得，

同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则

由于二面角为钝二面角，则余弦值为. 7分

21.解：（Ⅰ）由已知,，所以斜率，

又切点（1，2），所以切线方程为，即

故曲线在处的切线方程为．−−−−−−−−−−−−−−−−−（4分）

（Ⅱ）

①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为．−−−−−−（6分）

②当时，由，得，在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是−−−−---------------−−−−（8分）

（Ⅲ）由已知，转化为．，所以

由（Ⅱ）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．

当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，故的极大值也为最大值为，所以，解得．所以的取值范围为−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（12分）

22.解：（Ⅰ）∵曲线C₁的参数方程为（其中α为参数），

∴曲线C₁的普通方程为x²+（y﹣2）²=7．∵曲线C₂：（x﹣1）²+y²=1，

∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）²+y²=1，

得到曲线C₂的极坐标方程（ρcosθ﹣1）²+（ρsinθ）²=1，化简，得ρ=2cosθ．（5分）

（Ⅱ）依题意设A（），B（），

∵曲线C₁的极坐标方程为ρ²﹣4ρsinθ﹣3=0，

将（ρ＞0）代入曲线C₁的极坐标方程，得ρ²﹣2ρ﹣3=0，

解得ρ₁=3，

同理，将（ρ＞0）代入曲线C₂的极坐标方程，得，

∴|AB|=|ρ₁﹣ρ₂|=3﹣．（ 10分）