天水一中2014级2016-2017学年度第一学期第二次考试

数学（理科）试题

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．已知A={x∈N|x≤6},，则A∩B=（ ）

A.{3, 4, 5} B.{4, 5, 6} C.{x|3 < x ≤6} D.{x|3≤x <6}

2．已知复数为纯虚数，那么实数（ )

1. B.C.D.

3．设函数,（ )

A．3 B．6 C．9 D．12

4．已知角的终边上有一点，则的值为（ ）

A．1 B． C．-1 D．-4

5．若两个等差数列和的前项和分别是和，已知＝，则＝（）

A．7 B. C.D.

6．函数的图象大致为（ )

7．若，，则一定有（ ）

A．B．C．D．

8．设满足约束条件，，，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ）

A.5 B.6 C.D.

9．若实数满足，则的最小值为（ ）

A． B．2 C．D．4

10．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

11．若等差数列的前项和，则的最小值为（ ）

A． B.8 C.6 D.7

12．定义为个正数的“均倒数”，已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）

A．B．C．D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知实数x，y满足，则的最小值是 .

14．已知数列中，,,则数列的通项公式．

15．把正整数排列成如下图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列，若a_n=2015，则_________．

16．下列命题中正确的有 .

①常数数列既是等差数列也是等比数列；

②在△ABC中，若,则△ABC为直角三角形；

③若A,B为锐角三角形的两个内角，则tanAtanB＞1;

④若S_n为数列{}的前n项和，则此数列的通项=S_n-S_n-1（n＞1）.

三、解答题（共70分）

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求的值

（2）若，b＝2，求△ABC的面积S.

18. 已知函数，当时，函数的图象关于轴对称，数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

19．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1)证明PA∥平面EDB；

（2)证明PB⊥平面EFD；

（3)求二面角C－PB－D的大小.

20．已知数列是递增的等比数列，满足，且是、的等差中项，数列满足，其前项和为，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.

21．已知函数（）.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.

22.《选修4—4：坐标系与参数方程》

已知直线l的参数方程为（t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos（θ－)．

（1)求直线l的倾斜角和曲线的直角坐标方程；

（2)若直线l与曲线C交于A，B两点，设点,求.

23．选修4—5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ)若不等式的解集为，求实数的值；

（Ⅱ)在（Ⅰ)的条件下，若，使得，求实数的取值范围．

1. 选择题
   BCCAD DBCAB DC
2. 填空题

13. 2 14. 15. 1030 16.②③

三、解答题

17．（1）；（2）。

18．（1）；（2）.

资*源%库 19．（1)证明 连接AC，AC交BD于O，连接EO.

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.

而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB， ∴PA∥平面EDB.

（2)证明 ∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，

∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形.

而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①

同样，由PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD， 得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC.

而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②且PC∩BC＝C可推得DE⊥平面PBC.

而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E， ∴PB⊥平面EFD.

（3)解 由（2)知，PB⊥DF. 故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.

由（2)知DE⊥EF，PD⊥DB. 设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，BD＝a，

PB＝a，PC＝a，DE＝a，在Rt△PDB中，DF＝a.

在Rt△EFD中，sin∠EFD＝，∴∠EFD＝60°. ∴二面角C－PB－D的大小为60°.

20．（1），；（2）.

（2）∵，∴.

不等式化为，∵，

∴对一切恒成立.

资*源%库而，

当且仅当即时等号成立，∴

21．（1）的定义域为，

当时，由，∴的单调增区间为

由，∴的单调减区间为，

当时，由，∴的单调增区间为，

由，∴的单调减区间为，

当时，由，∴的单调增区间为，

由和，∴的单调减区间为和.

当时，，∴的单调减区间为，

综上所述当时，的单调增区间为，单调减区间为.

当时，的单调增区间为，单调减区间为和，

当时，的单调减区间为.

（2）用，而，对分三种情况：

①无解；

②；

③.

综上：∴的取值范围为.

22．（1)，（x－)2＋（y－)2＝1 （2)

23．（Ⅰ)（Ⅱ)