2021浙江高考数学难不难
06月08日
甘肃省河西五市2015届高三5月第二次联考数学文试卷
2015年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试文科数学
命题学校：金川公司第一高级中学 命题教师：郭连鹏 金玉银 程媛媛
注意事项：
- 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。 - 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 - 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
- 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数
的定义域为
，函数
的值域为
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知点A(1,3)，B(4，一1），则与向量
的方向相反的单位向量是
（A）（－
，
） （B）（－，） （C）（，－） （D）（，－）
（3）函数
的图象
（A）关于
对称 （B）关于y轴对称 （C）关于原点对称 （D）关于
对称
（4）若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）曲线
与直线
围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）函数
＋bx的图象在点A（l，f(1））处的切线与直线3x - y＋2＝0平行，若数列
｛
｝的前n项和为Sn，则S2015＝
（A）1 （B）
（C）
（D）
（7）若
则“
”是“
”成立的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）已知向量
，且
∥
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）若某几何体的三视图(单位：
)如图所示，
则该几何体的体积等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）设函数
若
,则实数
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）在
中，
的对边分别为
，且
，
，则的面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为
，P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
，则|QF|=
（A）6（B）3（C）
（D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）在复平面内，复数z与
的对应点关于虚轴对称，则z= ．
（14）在四面体
，则该四面体
的外接球的表面积为 ．
（15）当输入的实数
时，执行如图所示的程序框图，
则输出的
不小于103的概率是 ．
（16）已知函数
，若方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，
则
的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
设数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图象上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若
为等比数列，且
，求数列
的前n项和
．
（18）（本小题满分12分）
移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.
（Ⅰ）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；
（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中
选出6人，再从该6人中随机选两人，求这两人获得相等
优惠金额的概率.
（19）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥
的底面为菱形，
，
，
.
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求四棱锥的体积.
（20）（本小题满分12分）
已知
是抛物线
上的两个点，点
的坐标为
，直线
的斜率为
.设抛物线
的焦点在直线的下方.
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）设
为
上的一点，且
，过
两点分别作的切线，记两切线的交点为
.判断四边形
是否为梯形，并说明理由.
（21）（本小题满分12分）
设函数
,其中a为正实数．
（Ⅰ）若x=0是函数
的极值点,讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）若
在
上无最小值,且在上是单调增函数,求a的取值范围，
并由此判断曲线与曲线
在交点个数．
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=
AC，AE=
AB，
BD，CE相交于点F.
（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．
（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
=2.
（Ⅰ）分别写出的普通方程，的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知M，N分别为曲线的上、下顶点，点P为曲线上任意一点，求
的最大值．
（24）（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.
（Ⅰ）设函数
.证明：
；
（Ⅱ）若实数
满足
,求证:
．
2015年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试
文科数学试题答案及评分参考
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，
（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）D
（7）B （8）D （9）B （10）B （11）C （12）A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13） －1+i （14）
（15）
（16）
三、解答题：
（17）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）依题意得
，即
．
当n=1时，a1=S1=1 ……………1分
当n≥2时，
； ……………3分
当n=1时，a1=
=1
所以
……………4分
(Ⅱ)
得到
，又
，
，
， ……………8分
，
……………12分
（18）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）设事件
=“某人获得优惠金额不低于300元”，则
.…4分
(Ⅱ)设事件
=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”， ……………5分
由题意按分层抽样方式选出的6人中，获200元优惠的1人，获500元优惠的3人，获300元优惠的2人,分别记为
，从中选出两人的所有基本事件如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15个. ……………9分
其中使得事件
成立的为
，
，
，
，共4个 ……………10分
则
.……………12分
（19）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）证明：取
的中点
，连接
．
∵
，∴
, ………2分
又四边形
是菱形，且
，
∴
是等边三角形，∴
.-----4分
∴
，又
，∴
.--------------6分
(Ⅱ)
.…………………8分
是边长为
的正三角形，
又
,
,
,又
,
平面
， …………10分
.所以菱形ABCD的面积为
所求体积为
--------------------------------12分
（20）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）抛物线
的焦点为
.--------------------------1分
由题意，得直线
的方程为
，
令
，得
，即直线与y轴相交于点
.--------3分
因为抛物线的焦点在直线的下方，所以
，解得
，因为
，
所以
.----------------------5分
(Ⅱ)结论：四边形不可能为梯形.理由如下：
假设四边形为梯形.依题意，设
，
，
，
联立方程
消去y，得
，
由韦达定理，得
，所以
. 同理，得
.-----------------7 分
对函数求导，得
，
所以抛物线在点
处的切线
的斜率为
，
抛物线在点
处的切线
的斜率为
.---------------------------9分
由四边形
为梯形，得
或
.
若，则
，即
，因为方程无解，所以
与
不平行.
若，则
，即
，因为方程无解，所以
与
不平行，-----------------------------------------------------------------------11分
所以四边形不是梯形，这与假设矛盾.因此四边形不可能为梯形.-------------12分
（21）（本小题满分12分）
解:
（Ⅰ）由
得
------------------------------------------2
的定义域为:
函数的增区间为
,减区间为
------------------4
(Ⅱ)由
若
则
在
上有最小值
---------------------------------5
当
时,在单调递增无最小值 ----------------------------------6
∵
在
上是单调增函数∴
在上恒成立
∴
------- 7
综上所述
的取值范围为
---------- 8
此时
即
, ----10
则 h（x）在
单减,
单增,
极小值为
．故两曲线没有公共点 ---------------------12
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
解：
（1）证明：
，
．
在正△
中，
，
，--------------1
又
，
，
△BAD≌△CBE，
，-------------------------3
即
，所以
，
，
，
四点共圆．…………………………（5分）
（2）解：如图，取
的中点
，连结
，则
．
，
，
，
，
△AGD为正三角形，
，即
，
所以点
是△AED外接圆的圆心，且圆
的半径为
．
由于
，
，
，
四点共圆，即
，
，
，
四点共圆
，其半径为
．（10分）
（23）（本小题满分10分）
解：
（1）曲线
的普通方程为
，……………………2分
曲线
的普通方程为
. ……………………4分
（2）
法一：由曲线：，可得其参数方程为
，所以
点坐标为
，由题意可知
.
因此
……………………6分
.
所以当
时，
有最大值28，……………………8分
因此
的最大值为
. ……………………10分
法二：设点坐标为
，则，由题意可知.
因此
……………………6分
.
所以当
时，有最大值28，……………………8分
因此的最大值为. ……………………10分
（24）（本小题满分10分）
证明:
(Ⅰ)由
，
有
所以
………………………5分
(Ⅱ)
,由柯西不等式得:
(当且仅当
即
时取“
”号)整理得:
,即
……………………10分
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