甘肃省河西五市2015届高三5月第二次联考数学理试卷

2015年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试理科数学

命题学校：金川公司第一高级中学 命题教师：郭连鹏 金玉银 程媛媛

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如
   需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合，集合，则 （ 　）

A． B． （﹣∞，1] C． D．

（2） 若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是（ ）

A．B．C．D．

（3） 已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ的值（ ）

A.B. C. 1 D.

（4）二项式的展开式中常数项为（ ）

A．160B．C．60D．

（5）设满足约束条件，则目标函数的取值范围为 （ ）

　 A．B．C．D．

（6）已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（ ）

A．10B．8C．6D．4

（7）定义：在数列中，若满足（，d 为常数），称为“等

差比数列”。已知在“等差比数列”中，则（ ）

A．B．C．D．

（8）设随机变量服从正态分布N（0，1），若（ ）

A．B．C．D．

（9）在中，的对边分别为，且，，则的面积为 （ ）

A．B．C．D．

（10）已知抛物线y²＝2px（p＞0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ） ( )

A．＋2 B．＋1 C．＋1 D．＋1

（11）若某几何体的三视图(单位：)如图所示，

则该几何体的体积等于(　 　)

A．

B．

C．

D．

（12）已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ）

A.B.C.D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若复数为纯虚数，则的值为

（14）设，，则．

（15）当输入的实数时，执行如图所示的程序框图，则输出的

不小于103的概率是 。

（16）设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线

y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，若＝6，则k的值为_______

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

如图，以Ox为始边作角与(0<<<)，它们的终边分别与单位圆相交于点P､Q，已知点P的坐标为(，).

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）若，求sin(+)的值

（18）（本小题满分12分）

在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．

（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．

（19）(本小题满分12分)
如图，点C是以AB为直径的圆O上不与A、B重合的一个动点，

S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB = SC = 2．
（Ⅰ）求证：OM⊥BC；
（Ⅱ）当四面体S－ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为，

二面角B－SA－C的大小为，分别求的值．

（20）（本小题满分12分）

已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为.设抛物线的焦点在直线的下方.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）设为上的一点，且，过两点分别作的切线，记两切线的交点为.判断四边形是否为梯形，并说明理由.

（21）（本小题满分12分）

已知函数在处的切线与直线垂直，函数．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；

(3)设是函数的两个极值点，若，求的最小值．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F.

（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；

（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为=2.

（Ⅰ）分别写出的普通方程，的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知M，N分别为曲线的上、下顶点，点P为曲线上任意一点，求的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.

（Ⅰ）设函数.证明：；

（Ⅱ）若实数满足,求证:．

2015年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

理科数学（答案）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，

（1）A （2）B （3）B 　 （4）C （5）D （6）B

（7）C （8）C （9）C （10）D （11）B （12）B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13) (14) -2 (15) (16) k＝或k＝

三、解答题：

17解：(1)由三角函数的定义得=－，=，

则原式=

=22×(－)=

(2)∵=0，∴OP⊥OQ ∴∴，

∴，.

∴

=×+(－)×=

18解

因此，随机变量的最大值为………………………3分

• 有放回摸两球的所有情况有种………6分

则随机变量的分布列为：

………………10分

因此，数学期望…………………12分

19．解(Ⅰ)证：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC
又SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC

∵，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA2分
O、M分别为AB、SB的中点，故OM平行于SA
∴OM⊥BC4分

(Ⅱ)解：四面体S－ABC的体积
当且仅当时取得最大值6分
方法一
取BC的中点N，连接MN、AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC
∴，9分
作CH⊥SA垂足为H，连接BH，由(Ⅰ)知BC⊥SA，∴SA⊥平面BCH，BH⊥SA
故，在中，,12分

方法二
以分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则
C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，S(0，0，2)
进而M(0，，1)，
是平面ABC的一个法向量，
故，9分
设v = (x，y，z)是平面SAB的一个法向量，则,即
故可取，由（1）知，是平面SAC的一个法向量
故12分

20.解：（1）抛物线的焦点为.由题意，得直线的方程为，

令，得，即直线与y轴相交于点.因为抛物线的焦点在直线的下方，所以，解得，因为，所以..。。。。。。。。。5分

（2）结论：四边形不可能为梯形.理由如下：

假设四边形为梯形.依题意，设，，，

联立方程消去y，得，由韦达定理，得，所以.

同理，得.对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线的斜率为，抛物线在点处的切线的斜率为.

由四边形为梯形，得或.

若，则，即，因为方程无解，所以与不平行.

若，则，即，因为方程无解，所以与不平行，所以四边形不是梯形，这与假设矛盾.因此四边形不可能为梯形.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

21题解

所以设，所以在单调递减，，

故所求的最小值是…………12分

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

解：

（1）证明：，．

在正△中，，，--------------1

又，，

△BAD≌△CBE，，-------------------------3

即，所以，，，四点共圆．…………………………（5分）

（2）解：如图，取的中点，连结，则．

，，

，，

△AGD为正三角形，

，即，

所以点是△AED外接圆的圆心，且圆的半径为．

由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为．（10分）

23.解：（1）曲线的普通方程为，……………………2分

曲线的普通方程为. ……………………4分

（2）

法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知.

因此

……………………6分

.

所以当时，有最大值28，……………………8分

因此的最大值为. ……………………10分

法二：设点坐标为，则，由题意可知.

因此

……………………6分

.

所以当时，有最大值28，……………………8分

因此的最大值为. ……………………10分

24．（10分）证明:(Ⅰ)由，

有

所以………………………5分

(Ⅱ),由柯西不等式得:

(当且仅当即时取“”号)整理得:,即……………………10分