辽宁省沈阳市东北育才学校2016届高三上学期联考数学（理）试卷

2015—2016学年度上学期高中学段高三联合考试

高三年级数学（理）科试卷

答题时间：120分钟满分：150分

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.集合，，则（ ）

AB.C.D.

2.函数的定义域为（ ）

1. B.C.D.

3.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ）

A.若α≠，则tanα≠1 B.若α=，则tanα≠1

C.若tanα≠1，则α≠D.若tanα≠1，则α=

4.已知函数（其中）的图象如右图所示，

则函数的图象是下图中的（ ）

A B C D

5.若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是( )

A．[0，1]B．[3，5]C．[2，3]D．[2，4]

6.设若，则的值是( )

A.-1 B. 2 C. 1 D.-2

7.下面几个命题中，假命题是（ ）

A.“若,则”的否命题；

B.“，函数在定义域内单调递增”的否定；

C.“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”；

D.“”是“”的必要条件.

8.设均为正数，且，，，则( )

A..BC.D.

9.如图，目标函数仅在封闭区域内（包括

边界）的点处取得最大值，则的取值范围是（）

ABCD

10.若定义在上的函数满足：对于任意有，且时，有，设在区间上的最大值，最小值分别为，则的值为（ ）

A.B.C.D.

11.函数，则下列说法中正确命题的个数是（ ）

①函数有3个零点；

②若时，函数恒成立，则实数的取值范围是；

③函数的极大值中一定存在最小值；

④，，对于一切恒成立．

A.B.C.D.

12.已知函数在上非负且可导,满足，，则下列结论正确的是（ ）

A.B.C.D.

第II卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则________；

14．不等式组表示的平面区域为，若对数函数上存在区域上的点，则实数的取值范围是__________.

………………………………………

15.关于的方程的两实根为，若，则的取值范围是________

16．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，

它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数

均为，每个数是它下一行左右相邻两数的

和，如，，，…，

则第10行第3个数（从左往右数）为____.

三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

17．（本小题满分10分）

记函数的定义域为A，的定义域为B．（1）求集合A；（2）若，求实数的取值范围．

18.（本小题满分12分）

在数列中，已知，其前项和满足.

(1)求的值；(2)求的表达式；

(3)对于任意的正整数，求证：.

19.（本小题满分12分）年世博会在上海召开，某商场预计年从月起前个月顾客对某种世博商品的需求总量；

（1）写出第个月的需求量的表达式；

（2）若第个月的销售量（单位：件），每件利润，求该商场销售该商品，预计第几个月的月利润达到最大值？月利润的最大值是多少？

20．（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调区间；(Ⅱ)若在恒成立，求的取值范围.

21.(本小题满分12分)已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．(本小题满分12分)已知函数

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；

(Ⅲ)若，且在上恒成立，求实数的取值范围

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2015—2016学年度上学期高中学段高三联合考试

理科数学参考答案

一.1-----12 CDCA C BDACD BA

二. 13.1 14.15.16．

三.17.解析：（1）；（2）

18. [解析] 1.(1) 依次令可得，，；

 (2) 法一：由⑴猜想，下面用数学归纳法证明：①当时结论显然成立；②假设时结论成立，即，则

，故当时结论成立。综上知结论成立。

法二：猜想，下面用第二数学归纳法证明：①当时结论显然成立；②假设时结论成立，即，则

法三：，所以，同除得，时，，故，因此。又，故。

(3)法一：由(2) 知为等差数列，故。由知一定时，要使最小，则最大。显然

，故，因此，两边同除从而。

法二：因为，所以，，故，所以因此，从而，即。

法三：(i) 当时不等式显然成立；

(ii)假设时不等式成立，即

，则如“法二” 可证，故

，即当时不等式成立。综上得证。

19.解：（1）当时，； （2分）

当时，也满足，

故（4分）

（2）设该商场第个月的月利润为元，则

①当且时，

，由，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，

， （8分）

②当且时，

，由，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，

， （11分）

综上，第个月时，最大利润为元 （12分）

20．解：（Ⅰ）

当时，单调递减，

单调递增。

当时，单调递增。 …………………4分

（Ⅱ），得到

令已知函数

单调递减，单调递增。

，即，

在单调递减，

在，，若恒成立，则。……………12分

21．【解析】(Ⅰ)则由题设可求的， ………………………2分

又

所以椭圆C的方程是． ………………………………………4分

(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u, v）． 若直线l的斜率存在，设其方程为，

将它代入椭圆方程，并整理，得．……………………………5分

设点A、B的坐标分别为，则

因为及

所以

……………………8 分

当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T， ……………………9分

所以解得

此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）． ………………………………………………10分

当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）．

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件． ……………………………………12分

解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是

若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是………………………………6分

由解得．

由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）． ………………………………7分

事实上点T（0，1）就是所求的点． 证明如下：

当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）；

当直线l的斜率存在，设直线方程为，

代入椭圆方程，并整理，得……………8分

设点A、B的坐标为，则

因为，

所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）……………………………11分

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件． …………………………………12分

22．[解析] (Ⅰ) 由，

当时，则有函数在区间单调递增；

当时，,，

函数的单调增区间为，单调减区间为，

综合①②的当时，函数的单调增区间为；

当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. （5分)

(Ⅱ) 函数定义域为，

又，

令，

则，(7分)

，

故函数在上单调递减，在上单调递增，

，(8分)

有由（1）知当时，对，有，

即，

当且趋向0时，趋向，

随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时，趋向，得到函数的草图如图所示，

故①当时，函数有两个不同的零点；

②当时，函数有且仅有一个零点；

③当时，函数无零点；(10分)

（3）由（2）知当时，，故对，

先分析法证明：

要证

只需证

即证

构造函数

故函数在单调递增，

，

则成立. (12分)

①当时，由（1）知，函数在单调递增，则在上恒成立.

②当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，

故当时，，所以，则不满足题意.

综合①②得，满足题意的实数的取值范围. (14分)