辽宁省沈阳市第二中学2017届高三上学期期中考试数学（文）试卷

沈阳二中2016—2017学年度上学期期中考试

高三（17届）文科数学试题

命题人：数学组 审校人：数学组

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．设集合A={x|x≤2}，，则A∩B=（　　）

A．[1，2]B．[0，2]C．（1，2]D．[﹣1，0）

2．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=25，则a₃的值为（　　）

A．2B．5C．10D．15

3．已知=（2，1），=（3，m），若⊥（﹣），则|+|等于（　　）

A．3B．4C．5D．9

4．下列关于函数y=ln|x|的叙述正确的是（　　）

A．是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数 B．是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数

C．是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数 D．是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数

5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与直线y=﹣1所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为（　　）

A．B．C．D．

6.设向量a，b，c满足，，则的最大值等于( )

A．2B．C．D．1

7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）²+y²表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（　　）

A．114B．10C．150D．50

8．若点P是抛物线C：y²=4x上任意一点，F是抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．等比数列{a_n}中，a₄＝2，a₅＝5，则数列{lga_n}的前8项和等于（ ）

1. 2 B. 4 C. 6 D. 8
   10．若不等式0≤x²－ax＋a≤1有唯一解,则a的取值为（　　）
   A．0B．2C．4D．6
   11．已知双曲线的两条渐近线方程为3x±4y=0，A为双曲线的右支上的一点，F₁（﹣5，0）、F₂（5，0）分别为双曲线的左、右焦点，若∠F₁AF₂=60°，则△F₁AF₂的面积为（　　）
   A．8B．6C．4D．9
   12．若函数f（x）=log₂x在x∈[1，4]上满足f（x）≤m²﹣3am+2恒成立，则当a∈[﹣1，1]时，实数m的取值范围是（　　）
   A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪{0}
   C．[﹣3，3]D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）∪{0}
   第Ⅱ卷(共90分)
   二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
   13．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））等于　 　．
   14. 已知sin（α+）=，则cos（2α+）=　　．
   15. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（4a﹣3c）cosB=3bcosC，若a，b，c成等差数列，则sinA+sinC=　 　．
   16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD上的两点，已知∠CAD=θ，∠CED=2θ，∠CFD=4θ，AE=600，EF=200，则CD=　 　．
   
   三、解答题（本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
   17. （本小题满分10分）
   在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=．
   （1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；
   （2）若a=2，2sin²A+sinAsinC=sin²C，求b及c的长．
   18. （本小题满分12分）
   设.当时，有最小值-1.
   （1）求与的值；
   （2）求满足的的取值范围.
   19．（本小题满分12分）
   已知向量m＝(sinx,1)，n＝(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
   1. 求A；
   2. 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．

20. （本小题满分12分）

已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁=2，且a₂+1， a₄+1，a₈+1成等比数列．

（1）求数列{a_n}通项公式；

（2）设数列{b_n}满足b_n=，求适合方程b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=的正整数n的值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为且过点P（2，2）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过M（﹣1，0）作直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C的左、右焦点分别为F₁、F₂，△F₁AF₂、△F₁BF₂的面积分别为S₁、S₂，试确定|S₁﹣S₂|的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=ax³+blnx在点（1，0）处的切线的斜率为1．

（1）求a，b的值；

（2）是否存在实数t使函数F（x）=f（x）+lnx的图象恒在函数g（x）=的图象的上方，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

高三（17届）文科数学答案

一、选择题:

CBCDA AAABB DD

二、填空题：

13．2 14. 15. 16. 300

三、解答题：

17． 解：（1）∵a+b=5，

∴ab≤（）²=．

∴S_△ABC=sinC=≤=．

（2）∵2sin²A+sinAsinC=sin²C，

∴2a²+ac=c²．即8+2c=c²，

解得c=4．

由正弦定理得，即，

解得sinA=．∴cosA=．

由余弦定理得cosA==．即．

解得b=．

18. 解:（1）.

∵，，则解得

（2）.由得：，

资*源%库∴，∴，∴.

19. 解：(1)f(x)＝m·n

＝Asinxcosx＋cos2x

＝A

＝Asin.

因为A>0，由题意知，A＝6.

资*源%库(2)由(1)f(x)＝6sin. 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到

y＝6sin＝6sin的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．因此，g(x)＝6sin.

因为x∈， 所以4x＋∈.

故g(x)在上的值域为[－3,6]．

20.解：（1）设公差为为d，a₁=2，且a₂+1，a₄+1，a₈+1成等比数列，

∴（a₄+1）²=（a₂+1）（a₈+1），

∴（3d+3）²=（3+d）（3+7d），

解得d=3，

∴a_n=a₁+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1；

（2）∵数列{b_n}满足b_n=，

∴b_n=，

∴b_nb_n+1=•=3（﹣）

∴b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=3（﹣+﹣+••+﹣）=3（﹣）=，

即=，

解得n=10， 故正整数n的值为10．

21. 解：（1）由题意可得：，+=1，又a²=b²+c²，联立解得：a²=12，．

∴椭圆C的标准方程为：=1．

（2）设直线l的方程为：my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

联立，化为：（m²+2）y²﹣2my﹣11=0，

△＞0，∴y₁+y₂=．

∵S₁==c|y₁|，S₂=c|y₂|，

∴|S₁﹣S₂|=||y₁|﹣|y₂||=|y₁+y₂|=，

m=0时，|S₁﹣S₂|=0．

m≠0时，0＜|S₁﹣S₂|=≤=，当且仅当|m|=时取等号．

综上可得：|S₁﹣S₂|的取值范围是．

22．解：（1）函数f（x）=ax³+blnx的导数为f′（x）=3ax²+，

由题意可得f′（1）=3a+b=1，f（1）=a=0，

解得a=0，b=1；

（2）F（x）=f（x）+lnx=2lnx，假设存在实数t使函数F（x）的图象

恒在函数g（x）=的图象的上方，即为

2lnx＞，即t＜2xlnx恒成立，

设g（x）=2xlnx，g′（x）=2（lnx+1），

资*源%库 当x＞时，g′（x）＞0，g（x）递增；

资*源%库当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递减．

可得g（x）在x=处取得极小值，且为最小值﹣，

可得t＜﹣，则存在实数t∈（﹣∞，﹣），使函数F（x）的图象

恒在函数g（x）=的图象的上方．