平安一中2016届高三第一周周测试卷

文科数学

本试卷共 4 页，24 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回．

XXK]

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A 2, 1, 0,1, 2,3, 4， Bx|x2 x 2 0，则 AB （ * ）

A．0,1

B．1, 0

C．2,3, 4

D．2,3, 4om]

2． 已知 b 是实数，若 1bi是纯虚数，则b ＝（ * ）

2 i

A．-2B．2C．

1D． 1

22

3. sin165sin 75sin105sin15的值是（ * ）

A． 0B． 1 2

C．1D． 1

2

4．曲线y4xx3 在点 1, 3处的切线方程是（）

A．y7x4

B．y7x2

C．yx4

D．yx2

5. 已知 p：“a”，q：“直线xy 0 与圆 x2 ( ya)2 1 相切”，则 p是q 的( * ) A、充分非必要条件B、必要非充分条件

C、充要条件D、既非充分也非必要条件

6.若△ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5 :11:13 ，则 ABC ( * ) A.一定是锐角三角形 B.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 C.一定是钝角三角形 D. 一定是直角三角形

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ *） A． 6B． 9

C． D．

8. 给出右边的程序框图，那么输出的数是( * )

A．	2450	B． 2550
C．	4900	D． 5050

9．在边长为 1 的等边 ABC中，设

BCa,CAb,ABc，则abbcca ( * )

A． 1B． 1

22

C． 3D． 3

22

x

10. 若椭圆

2y2



1与双曲线x

2y2



1(m,n,p,q均为正数)）有共同的焦点F，F，

mnpq12

P 是两曲线的一个公共点， 则| PF1 | | PF2 | 等于（）

A．p2 m2

B．pm

C．mp

D．m2 p2

11. 设抛物线 y2 8x的准线与x轴交于点P，若过点P的直线l 与抛物线有公共点， 则直线 l的斜率的取值范围是（*）

1

A．[－

2

1

，]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]

2

12．已知函数f(x) Acos(x ) 的图象如图所示，

f ( ) 2 ，则 f (0) 

（ * ）

23

A． 2

3

B． 1

2

C．1D． 2

23

第 II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题--第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作

答。第22题--第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．设a是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1，2，3}中随机取出的一 个数，构成一个基本事件（a，b）。记“在这些基本事件中，满足 logba≥1”为事件A，

5

则A发生的概率是*．

12

【解析】由已知得基本事件（a，b）共有 4×3=12（个）满足 logba 1 ，即 a≥b＞1 的基本

事件有（4，2），（4，3），（3，2），（3，3），（2，2）共 5 个，故 P 5 ．

12



14．已知函数f(x) x

2ax,x2

，若f(f (1)) 3a 2 ，则 a的取值范围是*．-1＜a＜3

2x1,x2

【解析】提示：f (1) 3 ， f (3) 9 6a ，解不等式 9 6aa 2 ．

x2y4,



15. 设 x，y 满足约束条件 xy1,，



x 2 0,

则目标函数z＝3x－y的最大值为5. 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，

当直线z＝3x－y 过点 C（2,1）时，在 y 轴上截距最小 此时 z 取得最大值 5

16. 若函数 f(x) axxa（a 0 且 a1）有两个零点，则实数a的取值范围是*.

w. k.s.5. u.c.o.m 【解析】: 设函数 ya

(a 0, 且 a1}和函数yxa ,则函数 f(x)=a x

-x-a(a>0 且 a 1)

有两个零点, 就是函数 yax(a 0, 且 a1}与函数yxa有两个交点,由图象可知当

0 a 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a 1 时,因为函数 yax(a 1) 的图象过点(0,1), 而直线 yxa 所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取

值范围是{a|a 1} .答案:

{a|a1}

平安一中2016届高三第一周周测试卷

（文科）数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	B	D	D	A	C	B	A	B	C	C	D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

5

13.

12

14. (1, 3)

15. 516. (1, )

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知{a

}是首项为a

1 ,公比q1 的等比数列 ，设 b

• 2 3log

a(nN*) ，

n144

n1n

4

数列{cn}满足cnanbn。

（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn }的前 n 项和 Sn；

解答：（1）由题意知，an

( 1 ) n(nN*) 4

………… 1 分

n1n1 4

∵b3loga 2 3log ( 1 )n

44

2 3n 2 ， b1 1

………… 3 分

∴bn1 bn3(n 1) 2 (3n 2) 3 （常数）………… 5 分

∴数列{bn}是首项b1 1,公差d 3 的等差数列………… 6 分

（2）由（1）知，an

( 1 ) n,b

4n

3n2(nN*)

cn

(3n 2) ( 1 ) n , (nN*) 4

………… 7 分

S 11 4 ( 1 ) 2 7 ( 1 )3 

(3n 5) 1 )n1 (3n 2) ( 1 ) n,

… 8 分

n44444

于是 1 S

1( 1 ) 2 4 ( 1 )3 7 ( 1 )4 

(3n 5) 1 ) n(3n 2) ( 1 ) n1

4n44444

3

两式相减得S

1 3[(1 ) 2 ( 1 )3 

( 1 )n ] (3n 2) ( 1 )n1

………… 10 分

4n44444

1 (3n 2) ( 1 ) n1 .

………… 11 分

24

S 2 12n 8 ( 1 )n1 (nN*)

………… 12 分

n334

对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：

寿命

/小时

100～

200

200～

300

300～

400

400～

500

500～

600

个数2030804030

（Ⅰ）完成频率分布表：

（Ⅱ）完成频率分布直方图：

（Ⅲ）估计电子元件寿命在 100～400 小时以内的概率；

（Ⅳ）估计电子元件寿命在 400 小时以上的概率． 解：（Ⅰ）完成频率分布表如下：………………………………………………4 分

分组 100～200	频数 20	频率 0.10
200～300	30	0.15
300～400	80	0.40
400～500	40	0.20
500～600	30	0.15
合计	200	1

（Ⅱ）完成频率分布直方图如下：……………………………………………………8 分

（Ⅲ）由频率分布表可知，寿命在 100～400 小时的电子元件出现的频率为

0.10＋0.15＋0.40＝0.65，

所以估计电子元件寿命在 100～400 小时的概率为 0.65．……………………10 分

（Ⅳ）由频率分布表可知，寿命在 400 小时以上的电子元件出现的频率为

0.20＋0.15＝0.35，

所以估计电子元件寿命在 400 小时以上的概率为 0.35．………………………12 分

如图 5，已知 AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边B

E

三角形，ADDE2AB，F为CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF // 平面 BCE；A

（Ⅱ）求证：平面BCE平面CDE；

（Ⅲ）若AB1，求四棱锥CABED的体积．

CD

F

图 5

证明：（Ⅰ）证：取CE的中点G，连FG、BG．………… 1 分

∵F为CD的中点，∴GF//DE且GF1DE．

2

∵AB平面ACD，DE平面ACD ， ∴ AB//DE ， ∴ GF//AB．

1

又AB

DE，∴GFAB．

2

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG．………… 2 分

∵AF平面BCE，BG平面BCE，

∴AF // 平面 BCE．………… 4 分

（Ⅱ）证明：∵ ACD为等边三角形，F为CD的中点，

∴AFCD

∵DE平面ACD，AF平面ACD，

………… 5 分

∴DEAF．………… 6 分

又CDI

DED，故AF平面CDE．………… 7 分

∵BG//AF，∴BG平面CDE．

∵BG平面BCE，∴平面BCE平面CDE．…………8 分

（Ⅲ）解：过点C作CHAD于点H，…………9 分

∵面ACD I 面 BADAD，面ACD面BAD，

∴CH面BAD，…………10 分

∵AB1，∴ADDE 2 ,

∵△ACD为等边三角形，∴CH，…………11 分

∴四棱锥CABED的体积V 1 S

CH 1 

12 2) 

3 ．…………12 分

(

3ABED32

已知椭圆C:xy

a2b2

1（ab 0 ）的焦距为 4，且与椭圆 x 2 y

2

1 有相同的离心率，

斜率为k的直线l经过点M (0,1) ，与椭圆 C交于不同两点A、B．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

解：（1）∵焦距为 4，∴ c2

…………… 1 分

2

x 2 y2

又∵2

1 的离心率为 2

，…………… 2 分

∴ec即a 2 2 ， b2

…………… 4 分

a2

x2y2

∴ 标准方程为

1

84

…………… 6 分

（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

ykx1



由 x2y2

得 (1 2k 2 )x2 4kx 6 0

…………… 7 分



8 4 1

xx

4k

，xx6

…………… 8 分

∴12

1 2k2

1 21 2k2

由（1）知右焦点F坐标为（2，0），

∵右焦点F在圆内部，∴AFBF0

…………… 9 分

∴ (x1 2)(x2 2) y1y2 0 ，即 x1x2 2(x1 x2 ) 4 (kx1 1)(kx2 1) 0

即 (k2

1)x1x2 (k2)(x1 x2 ) 5 0

6(1k 2 )

∴

4k(k 2) 5 8k 1 0

12k2

1

12k2

12k2

∴k…………… 11 分

8

1

经检验得k时，直线l与椭圆相交，

8

1

∴直线l的斜率k的范围为 (,)

8

………………12 分

设aR，函数f(x) ax3 3x 2 ．

（Ⅰ）若x 2 是函数 y

f(x) 的极值点，求实数 a的值；

（Ⅱ）若函数g(x) exf(x) 在[0，2] 上是单调减函数，求实数 a 的取值范围． 解：（Ⅰ） f(x) 3ax2 6x3x(ax 2) ．………… 2 分

因为x 2 是函数 y

f(x) 的极值点，所以 f (2) 0 ，………… 4 分

即 6(2a 2) 0 ，所以 a 1 ．………… 5 分

经检验，当a 1 时， x 2 是函数 y

f(x) 的极值点．

即a 1 ．………… 6 分

（Ⅱ）由题设，g ' (x) ex(ax3 3x2 3ax2 6x) ，………… 7 分 又 ex 0 ，所以， x (0, 2] ， ax3 3x2 3ax2 6x 0 ，………… 8 分

这等价于，不等式a

3x2 6xx3 3x2

3x 6 对 x (0, 2] 恒成立．………… 9 分

x2 3x

3x6

令h(x) （x (0, 2] ），

x2 3x

22

则h' (x) 3(x4x6)3[(x2)2]0 ，

(x2 3x)2

(x2 3x)2

所以h(x) 在区间（0, 2] 上是减函数，

所以h(x) 的最小值为 h(2) 6 ．………… 11 分

5

66

所以a．即实数a 的取值范围为 (, ] ．………… 12 分

55

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果 多做，则按所做的第一题目计分，做答时，请写清题号．

22（本小题满分10分）选修 4—1：几何证明选讲

如图 5，以 ABC的边BC为直径作圆O交AC于D，过A点作AEBC于E，AE交

圆O于点G，交BD于点F．A

（Ⅰ）证明： FBE:

CAE；

（Ⅱ）证明：GE2 EFEA ． 证明：（Ⅰ）∵ AEBC，

∴ BEFAEC90………… 2 分

∵BC 为直径，∴ BDC90

∴ FBEACE 90, CAEACE90

∴FBECAE

………… 4 分图 5

∴ FBE:

CAE；………… 5 分

EFBE

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

， ∴ BEECEFEA

ECAE

………… 7 分

连接BG和CG，∵BC 是直径，∴ BGC90，而AEBC ， 由射影定理得， GE2 BEEC

………… 9 分

∴GE2 EFEA．………… 10 分

23（本小题满分10分）选修 4-4：坐标系与参数方程

xtcos,

1

在直角坐标系xoy中，曲线C 的参数方程为 

3 （ t为参数，t 0 ），以坐标



ytsin,

3

原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2 sin，曲线

C3 的极坐标方程为 

6cos8 0 ．

（Ⅰ）求曲线C1 与 C2 交点的极坐标（ 0 , 0 2）；

（Ⅱ）若点P是曲线C3 上一动点，求点 P到曲线C1 的最短距离．

解：（Ⅰ）曲线C1 与 C2 的普通方程分别为 y

3x（x 0 ）， x

2 y2

2y

……… 2 分

y3x

解方程组 



x2 

，得 

x1

， 

0

（舍去）………… 4 分

x2 y2 2 y

3y1 0

y2 2



∴ 曲线 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ( 3, 3 )

………… 6 分

（Ⅱ）曲线C3 的普通方程为 x

2 y2

6x 8 0 ，即 (x3)

2 y2

1，

圆心为 (3, 0) ，半径 r 1 ，………… 7 分

∵圆心 (3, 0) 到直线 C1 ： y

3x的距离为d………… 9 分

22

3 3 2

∴曲线C3 上的动点 P到曲线C1 的最短距离为 dr

24（本小题满分10分）选修 4—5：不等式选讲 设 a,b,c,d均为正数，且ab1，证明：∵

．………… 10 分

2

（Ⅰ） (1

1 )(11

ab

) 9 ；

（Ⅱ） (acbd)(bcad ) cd．

证明：（Ⅰ）∵a,b,c,d均为正数，且ab1，………… 1 分

∴ (1

1 )(11

) (1

ab)(1ab)

………… 2 分

abab

(11b)(11a)

ab

ab

(33b)(33a ) 9 11

………… 3 分

∴ (1

)(1

ab

) 9 ；………… 5 分

（Ⅱ）∵a,b,c,d均为正数，∴

ac,bd,bc,ad也均为正数，………… 6 分

∴ (acbd)(bcad ) ((

ac )2 (

bd )2 )((

ad )2 (

bc )2 )

………… 7 分

((

ac

ad ) (

bd

bc))2

………… 8 分

cd(ab)2

∵ab1，

………… 9 分

∴ (acbd)(bcad ) cd．………… 10 分

文 18. （本小题满分 12 分）——待选

某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元）之间有如下对应数据:

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（Ⅰ）画出散点图;

5



（Ⅱ）求回归直线方程；（参考数据：i1

xi145

5



i1

yi13500

5



i1

xiyi

1380

）

（Ⅲ）试预测广告费支出为 10 万元时，销售额多大？ 解（Ⅰ）根据表中所列数据可得散点图如下：

…………3 分

（Ⅱ）解：

x 2+4+5+6+8 = 25 5

55，

y30+40+60+50+70=25050

55

…………4 分

5



又已知i1

xi145

5



i1

xiyi

1380

b$ 

5

xiyi5xy

i1

1380 5550 6.5

522

145 555

于是可得：

xi

i1

• 
  5x

……………………………6 分

a$yb$x 50 6.55 17.5

因此，所求回归直线方程为： $y6.5x17.5

……………………………8 分

. ……………………………9 分

（Ⅲ）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为 10 万元时，

$y 6.510 17.5=82.5

(万元)

即这种产品的销售收入大约为 82. 5 万元.………12 分