平安一中2016届高三第一周周测试卷

理科数学

本试卷共 4 页，24 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回．

XXK]

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．| sin165| cos15sin 255| sin195| 的值是（ * ）

A． 0B． 1 2

C．1D． 1

2

2． 已知 b 是实数，若 1bi是纯虚数，则b ＝（ * ）

2 i

1

A．2B．-2C．

2

D． 1

2

3．已知集合Ax | 3 x5,且xZ，Bx|x2 x 2 0，则 AB （ * ）

A．0,1

B．1, 0

C．2,3, 4

D．2,3, 4om]

4. 某影院有三间放映厅，同时放映三部不同的电影，此时，甲、乙两位同学各自买票看其中 的一场，若每位同学观看各部影片的可能性相同，则这两位同学观看同一部影片的概率 为（ * ）

112

A．B．C．

233

3

D．

4

5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ * ） A． 6B． 9

C． D．

6. 在 ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2 b2 

3bc，sinC 2 3 sin B，

则A ( * )

A． 300

B． 600

C．1200

uur uuur

D．1500

7. 在 RtABC 中， C=90°AC=4，则ABAC 等于( * )

A． 16

B． 8

C． 8D．16

8. 给出下面的程序框图，那么输出的数是（ * ）

A．5050B．4900

C．2550D．2450

x

9．若椭圆

2y2



1 与双曲线 x

2y2



1 ( m,n,p,q均为正

mnpq

数)）有共同的焦点F1 ， F2 ， P 是两曲线的一个公共点， 则| PF1 | | PF2 | 等于（*）

A．p2 m2

B．pm

C．mp

D．m2 p2

10. 设抛物线 y2 8x的准线与x轴交于点P，若过点P的直线

l与抛物线有公共点，

则直线l的斜率的取值范围是（*）

1

A．[－

2

1

，]B．[－1，1]C．[－2，2]D．[－4，4]

2

f ( ) 2

11．已知函数f(x) Acos(x ) 的图象如图所示，2

3 ，则 f (0) ( * )

A． 2B． 2

C． 1D． 1

3322

12. 定义平面向量之间的一种运算“ e ” 如下： 对任意的 a(m,n) ， b(p,q) ， 令

aebmqnp ，下面说法错误的是( * )

A．若 a 与 b 共线，则 ae

b0

B．ae

bbea

C．对任意的R ，有 (a) e

b(aeb)

D． (ae

b)2 (ab)2 | a |2 | b|2

第 II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题--第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作

答。第22题--第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

13． (

x 1 )6 的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）15

x

Tr＋1＝(－1)r·Crx

63r

2

6－3r＝0 r＝2，从而得常数项Cr＝15．



14．已知函数f(x) x

2ax,x2

，若f(f (1)) 3a 2 ，则 a的取值范围是*．

2x1,x2

-1＜a＜3．【解析】提示：f (1) 3 ， f (3) 9 6a ，解不等式 9 6aa 2 ．

x2y4,



15. 设 x，y 满足约束条件 xy1,，



x 2 0,

则目标函数z＝3x－y的最大值为5. 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，

当直线z＝3x－y 过点 C（2,1）时，在 y 轴上截距最小 此时 z 取得最大值 5

16. 若函数 f(x) axxa（a0 且 a1 ）有两个零点，则实数 a的取值范围是*.

.w. w. k. s.5.u.c.o.m

{a|a1}

【解析】: 设函数 yax(a0, 且 a1}和函数yxa ,则函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a 1)有 两个零点, 就是函数 yax(a 0, 且 a1}与函数yxa有两个交点,由图象可知当

0 a 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a 1 时,因为函数 yax(a 1) 的图象过点(0,1), 而直线 yxa 所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取 值范围是{a|a 1} .

平安一中2016届高三第一周周测试卷

（理科）数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	D	A	C	B	B	A	D	D	C	B	A	B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13. 1514. (1, 3)

15. 516. (1, )

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知{a

}是首项为a

1 ,公比q1 的等比数列 ，设 b

• 
  2 3log

a(nN*) ，

n144

n1n

4

数列{cn}满足cnanbn。

（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn }的前 n 项和 Sn；

解答：（1）由题意知，an

( 1 ) n(nN*) 4

………… 1 分

n1n1 4

∵b3loga 2 3log ( 1 )n

44

2 3n 2 ， b1 1

………… 3 分

∴bn1 bn3(n 1) 2 (3n 2) 3 （常数）………… 5 分

∴数列{bn}是首项b1 1,公差d 3 的等差数列………… 6 分

（2）由（1）知，an

( 1 ) n,b

4n

3n2(nN*)

cn

(3n 2) ( 1 ) n , (nN*) 4

………… 7 分

S 11 4 ( 1 ) 2 7 ( 1 )3 

(3n 5) 1 )n1 (3n 2) ( 1 ) n,

… 8 分

n44444

于是 1 S

1( 1 ) 2 4 ( 1 )3 7 ( 1 )4 

(3n 5) 1 ) n(3n 2) ( 1 ) n1

4n44444

3

两式相减得S

1 3[(1 ) 2 ( 1 )3 

( 1 )n ] (3n 2) ( 1 )n1

………… 10 分

4n44444

1 (3n 2) ( 1 ) n1 .

………… 11 分

24

S 2 12n 8 ( 1 )n1 (nN*)

………… 12 分

n334

3

设一汽车在前进途中要经过 4 个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为，

4

1

遇到红灯（禁止通行）的概率为

4

。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表

示停车时已经通过的路口数，求：

（Ⅰ）的概率的分布列及期望E；

（Ⅱ）停车时最多已通过 3 个路口的概率.

解：（Ⅰ）的所有可能值为 0，1，2，3，4。………… 1 分

用Ak 表示“汽车通过第 k 个路口时不停（遇绿灯）”，

3

则P(Ak ) 

(k1,2,3,4),且A1 , A2 , A3 , A4 独立.………… 2 分

4

故P(0) P(A ) 1 ,

14

uur

P(1) P(AA ) 3 1 3 ，

12

uur

4416

P(2) P(AA

A ) ( 3)2 1 9 ，

123

4464

uur

P(3) P(AA

AA ) ( 3)3 1 27 ，

1234

44256

P(4) P(AA

AA ) ( 3)4 81

1234

4256 ．………… 4 分

	0	1	2	3	4
P	1 4	316	964	27256	81256

从而有分布列：

………… 6 分

E0 1 13

2 9

3 27

4 81

525 .…………分

416642562562568

P(3) 1 P(4) 1 81

175 .…………分

（Ⅱ）

25625611

175

答：停车时最多已通过 3 个路口的概率为 256 .………… 12 分

如图 4，已知 AB平面ACD，DE平面ACD，B

E

△ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF // 平面 BCE；GA

M

H

（Ⅱ）求证：平面BCE平面CDE；

（Ⅲ）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

CD

F

解法一：(Ⅰ) 证：取 CE的中点G，连结FG、BG．

∵F为CD的中点，∴GF//DE且GF1DE．………… 1 分

2

∵AB平面ACD，DE平面ACD，

∴AB//DE，∴GF//AB．………… 2 分

1

又AB

DE，∴GFAB．

2

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG．………… 3 分

∵AF平面BCE，BG平面BCE ， ∴ AF // 平面 BCE．………… 4 分

(Ⅱ) 证：∵ ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AFCD

∵DE平面ACD，AF平面ACD，∴DEAF．

又CDI

DED，故AF平面CDE．

∵BG//AF，∴BG平面CDE．

∵BG平面BCE ， ∴平面 BCE平面CDE．…………8 分

(Ⅲ) 解：在平面 CDE内，过F作FHCE于H，连BH．

∵平面BCE平面CDE ， ∴ FH平面BCE．

∴ FBH为BF和平面BCE所成的角．…………10 分

设ADDE2AB2a，则FHCF sin 45

2a，

2

BF

2a，

在 R t△ FHB 中， sin FBHFH2 ．

BF4

∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为2

4

…………12 分

解法二：

设ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系Axyz，

则A0，0，0,C2a，0，0,B 0, 0, a,Da, 3a, 0, Ea, 3a, 2a．

3

∵F为CD的中点，∴Fa,

3a, 0 ．

22



uuuruuuruuur

3

(Ⅰ) 证： AFa,

3a, 0 , BEa, 3a,a,BC2a, 0, a，

22





uuur1 uuuruuur

∵AFBEBC，AF平面BCE，

2

∴AF // 平面 BCE．…………4 分

uuuruuuruuur

3

(Ⅱ) 证：∵ AFa,

3a, 0 , CDa, 3a, 0, ED 0, 0, 2a，

22



∴AFCD0,AFED 0 ，∴ AFCD,AFED．

∴AF平面CDE ， 又 AF // 平面 BCE，

∴平面BCE平面CDE．…………8 分

(Ⅲ) 解：设平面 BCE的法向量为nx,y,z，

由nBE0,nBC 0 可得：

r

x3yz 0, 2xz 0 ，取 n 1, 

3, 2．………… 9 分

uuur3

又BFa,

a, a，…………10 分

22

设BF和平面BCE所成的角为，

sin

|BFn|

2a2

则．

|BF | | n|

2a 2 24

∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为2 ．…………12 分

4

20.（本小题满分 12 分）

x2

已知椭圆C1 :

a2

y1(ab 0) 的离心率为

b2

3 ，直线 l：xy 2 0

3

与以原点为

圆心，以椭圆C1 的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C1 的方程；

（2）设椭圆C1 的左焦点为 F1，右焦点为F2，直线l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴，动直线 l2

垂直直线l1 于点 P，线段PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M，求点M的轨迹C2 的方程；

（3）若A(x1 ,2) 、 B(x2 , y2 ) 、 C(x0 , y0 ) 是 C2 上不同的点，且 ABBC，求y0 的取值范围．

解：(Ⅰ)e

，∴e2 c

a 2 b2



1 ,∴ 2a2 3b2

…………1 分

a2a23

∵ 直线 l：xy 2 0 与圆 x2 y2 b2 相切， ∴

b，∴b,……2 分

x2

∴a2 3 .∴ 椭圆 C1 的方程是

y2

1．…………4 分

32

(Ⅱ) ∵ MPMF2

，∴ 动点 M的轨迹是以l1 为准线， F2 为焦点的抛物线，……5 分

p

由1 2

得p2

，………6 分

∴ 点 M的轨迹C2 的方程为 y

4x．…………7 分

(Ⅲ)由（Ⅱ）知A(1, 2) ， B(

y2

2 , y ) ， C(

y2

0 , y ) ，（其中 yy

2 ），………8 分

uuur

y2 4

4

uuur

24002

y2 y2

则AB ( 2

,y 2) , BC(

02 , y

y ) ，………9 分

42402

y 2 4

y 2 y2

又∵ABBC,∴ABBC 0 , 即

2

4

0

4

(y2 2)( y0 y2 ) 0

2020

整理得y 2 ( y2)y 16 2 y 0 ，………10 分

而此方程有解，∴ ( y0 2)

4 (16 2 y0 ) 0 ，解得 y0 6 或 y0 10 ，…11 分

检验：当y0 6 时， y2 2 ，不符合题意．

∴点C的纵坐标y0 的取值范围是 (, 6) [10, )

………12 分

21．（本小题满分 12 分）

已知a 0 ，函数 f(x) ln(2 x) ax.

（Ⅰ）设曲线y

f(x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y轴垂直，求a的值；

（Ⅱ）求函数f(x) 的单调区间；

（Ⅲ）求函数f(x) 在[0，1]上的最小值。

解：（Ⅰ）依题意有x2 ， f(x) a

1

x2

………… 1 分

过点 (1, f (1)) 的直线斜率为 a1，………… 2 分

由已知可得，a 1 0 ，即

ax2a1

（Ⅱ）f(x) 

x2

当a 0 时， 2 1 2

a

a1

a[x (2 

1 )] 

a

1

x2

………… 3 分

………… 5 分

令f(x) 0 ，解得 x 2 1 ，令 f(x) 0 ，解得 2 1 x2

aa

所以f(x) 的增区间为 (,2 1 ) ，减区间是 (2 1 ,2)

…………7 分

aa

（Ⅲ）当 2 1 0 ，即 0 a 1 时， f(x) 在[0，1]上是减函数

a2

所以f(x) 的最小值为 f (1) a

当 0 2 1 1即 1 a1时

…………8 分

a2

f(x) 在 (0,2 1 ) 上是增函数，在 (2 1 ,1) 是减函数

aa

所以需要比较f (0) ln 2 和 f (1) a两个值的大小…………9 分

1

因为e2

1

32

2 e ，所以 1

2

ln

ln 2 ln e1

1

∴ 当a ln 2 时最小值为 a ，当 ln 2 a 1时，最小值为 ln 2

2

当 2 1 1 ，即 a1时，f(x) 在[0，1]上是增函数，所以最小值为 ln 2 . ……11 分

a

综上，当 0 a ln 2 时， f(x) 为最小值为 a

当a ln 2 时， f(x) 的最小值为 ln 2

…………12 分

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果 多做，则按所做的第一题目计分，做答时，请写清题号．

22（本小题满分10分）选修 4—1：几何证明选讲

如图 5，以 ABC的边BC为直径作圆O交AC于D，过A点作AEBC于E，AE交

圆O于点G，交BD于点F．A

（Ⅰ）证明： FBE:

CAE；

（Ⅱ）证明：GE2 EFEA ． 证明：（Ⅰ）∵ AEBC，

∴ BEFAEC90………… 2 分

∵BC 为直径，∴ BDC90

∴ FBEACE 90, CAEACE90

∴FBECAE

………… 4 分图 5

∴ FBE:

CAE；………… 5 分

EFBE

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

， ∴ BEECEFEA

ECAE

………… 7 分

连接BG和CG，∵BC 是直径，∴ BGC90，而AEBC ， 由射影定理得， GE2 BEEC

………… 9 分

∴GE2 EFEA．………… 10 分

23（本小题满分10分）选修 4-4：坐标系与参数方程

xtcos,

1

在直角坐标系xoy中，曲线C 的参数方程为 

3 （ t为参数，t 0 ），以坐标



ytsin,

3

原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2 sin，曲线

C3 的极坐标方程为 

6cos8 0 ．

（Ⅰ）求曲线C1 与 C2 交点的极坐标（ 0 , 0 2）；

（Ⅱ）若点P是曲线C3 上一动点，求点 P到曲线C1 的最短距离．

解：（Ⅰ）曲线C1 与 C2 的普通方程分别为 y

3x（x 0 ）， x

2 y2

2y

……… 2 分

y3x

解方程组 



x2 

，得 

x1

, 

0

（舍去）………… 4 分

x2 y2 2 y

3y1 0

y2 2



∴ 曲线 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ( 3, 3 )

………… 6 分

（Ⅱ）曲线C3 的普通方程为 x

2 y2

6x 8 0 ，即 (x3)

2 y2

1，

圆心为 (3, 0) ，半径 r 1 ，………… 7 分

∵圆心 (3, 0) 到直线 C1 ： y

3x的距离为d………… 9 分

22

3 3 2

∴曲线C3 上的动点 P到曲线C1 的最短距离为 dr

24（本小题满分10分）选修 4—5：不等式选讲 设 a,b,c,d均为正数，且ab1，证明：∵

．………… 10 分

2

（Ⅰ） (1

1 )(11

ab

) 9 ；

（Ⅱ） (acbd)(bcad ) cd．

证明：（Ⅰ）∵a,b,c,d均为正数，且ab1，………… 1 分

∴ (1

1 )(11

) (1

ab)(1ab)

………… 2 分

abab

(11b)(11a)

ab

ab

(33b)(33a ) 9 11

………… 3 分

∴ (1

)(1

ab

) 9 ；………… 5 分

（Ⅱ）∵a,b,c,d均为正数，∴

ac,bd,bc,ad也均为正数，………… 6 分

∴ (acbd)(bcad ) ((

ac )2 (

bd )2 )((

ad )2 (

bc )2 )

………… 7 分

((

ac

ad ) (

bd

bc))2

………… 8 分

cd(ab)2

∵ab1，

………… 9 分

∴ (acbd)(bcad ) cd．………… 10 分