青海省西宁市十四中2016届高三上学期期中考试数学（理）试卷

西宁十四中高三理科数学期中考试卷

1．已知集合，则

A．（1,3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）

2．已知复数z满足，则（）

A．B．C．D．

3．设数列的前n项和，则a₉的值为（）

A．15 B．17 C．49 D．64

4．若所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是

A．? B．C．D．?

5．已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为（）

A．B．C．D．

6．函数的一个零点落在下列哪个区间（）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）

7．设满足约束条件，则的最小值为（）

A．2B．C．1D．

8．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x²－x，则f（1）＝（）

A．－3 B．－1 C．1 D．3

9．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）

（A）64（B）72（C）80（D）112

10．已知函数（,且）的图象恒过定点,若点在一次函数的图象上,其中,则的最小值为（）

A．1 B．C．2 D．4

11．设为空间不重合的直线，是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（）

①//，//，则//；

②，，则//；

③若；

④若∥，，，则∥；

⑤若

⑥，则

A．0 B．1 C．2 D．3

12．设，把的图像向左平移个单位后，恰好得到函数的图象，则的值可以为（）

A．B．C．D．

13．定积分．

14．已知是上的增函数，那么实数的取值范围是________．

15．在中，，，，则．

16．已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________.

17．（本小题满分12分）已知函数（）．

（1）求的最小正周期；

（2）求函数在区间上的取值范围．

18．（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，求b，c的值．

19．（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，，．

（Ⅰ）求证：平面PCD平面PAB；

（Ⅱ）设E是棱AB的中点，，，求二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知函数，其中为常数，且

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值．

21．（本小题满分12分）已知数列｛an｝的首项al＝1，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前n项和．

请考生在第22、23题中任选一题解答，如果多做，则按所做的第一题记分

22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程.

已知曲线的参数方程为（为参数）,直线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;

（2）设点为曲线上的动点,求点到直线距离的最大值.

23．（本小题满分10分）已知函数

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围．

1．C

【解析】

试题分析：因为，所以．

考点：集合的交集运算．

2．D

【解析】

试题分析：由已知得，．故选D．

考点：复数运算．

3．B

【解析】

试题分析：由已知得，．故选B．

考点：数列项与和的关系，即（）．

4．D

【解析】

试题分析：模拟算法：满足条件；

满足条件；

不满足条件，输出，故判断框中应填?，选D．

考点：程序框图．

5．C

【解析】

试题分析：根据题意，由于平面向量满足,且,那么代入可知向量与的夹角的余弦值为，即可知向量与的夹角为，选C．

考点：向量的数量积公式．

6．B

【解析】

试题分析：根据题意可知，函数是上的增函数，且，所以函数的一个零点落在区间上，故选B．

考点：函数的零点．

7．D

【解析】

试题分析：不等式组表示的平面区域为三角形ABC及其内部（如图）．可知，点A（），而目标函数可看作是直线在y轴上截距的2倍．显然当直线过点A时，截距最小即．故选D．

考点：线性规划求最值．

8．A

【解析】

试题分析：函数是奇函数

考点：函数奇偶性与函数求值

9．B

【解析】

试题分析：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是棱长为4的正方体，上部是三棱锥的组合体，如图所示，所以该几何体的体积是．

考点：三视图、几何体的体积．

10．D

【解析】

试题分析：根据指数函数的性质，可以求出点，把点代入一次函数，得出，然后利用不等式的性质进行求解．

∵函数且的图象恒过定点，可得，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，∴，∴，所以，当且仅当时取得等号；故选A．

【方法点睛】本试题主要考查了的指数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的基本不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型；解决该试题的关键找到指数函数必定过点得到已知函数过点．

考点：1．指数函数的性质；2．基本不等式．

11．C

【解析】

试题分析：①显然正确；②可能相交；③l可能在平面内；④l可能为两个平面的交线，两个平面可能相交；⑤可能相交；⑥显然正确，故选C．

考点：空间中线面，线线，面面关系

【易错点睛】解决有关线面平行，面面平行的判定与性质的基本问题要注意：

（1）注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．

（2）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

（3）会举反例或用反证法推断命题是否正确．

12．A．

【解析】

试题分析：因为函数，然后将其图像向左平移个单位后得到：，即，又因为

，所以，即

，当时，，故应选．

考点：1．函数的图像及其性质；2、余弦函数的图像及其性质；

13．

【解析】

试题分析：

考点：定积分

14．[2，3）

【解析】

试题分析：函数在上的增函数，所以，解不等式得，所以实数的取值范围是[2，3）

考点：分段函数单调性质

15．1

【解析】

试题分析：,在中．

由正弦定理得,

．

考点：1正弦定理,余弦定理；2同角三角函数关系式,二倍角公式．

16．

【解析】

试题分析：已知四面体棱长为2，可知其外接球的半径为，从而其表面积为.

考点：球的内接几何体问题.

17．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）结合函数解析式的特点，利用倍角公式变形为，然后利用辅助角公式化为，最后利用周期公式即可求解．（2）利用换元思想，先求出，然后求出其正弦值，进而求出函数的值域．

试题解析：（1）

所以的最小正周期为

（2）解：

因为， 所以，

所以所以

即在区间上的取值范围是．

考点：倍角公式；辅助角公式；三角函数求值域．

18．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先由余弦定理将已知条件中等式的右端化为，再由正弦定理将其化为，然后利用两角和的正弦公式及三角形的内角和为进行整理，可得出A角的余弦值，从而求出角．

（2）由已知条件列出关于b，c的方程组即可求出结果．

试题解析：（1）由正弦定理得

所以

所以，故

所以

（2）由，得

由条件，，

所以由余弦定理得

解得

考点：利用正弦定理、余弦定理解三角形．

19．（1）证明过程详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先通过题中条件证明平面PAD，然后由平面与平面垂直的判定定理得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，然后利用法向量与二面角大小的关系求出二面角的余弦值．

试题解析：（1）证明：因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，

所以平面PAD

又平面PAD，所以

又，所以平面PAB

而平面PCD，故平面PCD平面PAB

（2）如图，建立空间直角坐标系

设，则，

，，，

，，则，得

，

设平面PEC的一个法向量，

由，得

令，则

，，设平面PEC的一个法向量，

由，得，令，则

设二面角的大小为，则

考点：平面与平面垂直的判定；求二面角的大小．

20．（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）或

【解析】

试题分析：（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据，可构造关于的方程，根据求出b值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数的单调区间；（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，则，又由函数在上的最大值为1，讨论a，得出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果．

试题解析：（1），令，得或1，则

	+	0	-	0	+
	增	极大值	减	极小值	增

所以在和上单调递增，在上单调递减．

（2），令，因为在处取得极值，

所以

①时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为令，解得；

②当；

（i）当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增

所以最大值1可能在或x=e处取得，

而，

，

（ii）当时，在区间（0，1）上单调递增；上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在x=1或x=e处取得

而，所以，解得，与

矛盾；

（iii）当时，f（X）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，

所以最大值1可能在x=1处取得，而，矛盾，

综上所述，或．

考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

【方法点睛】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键．属于中档题．

21．（1）证明详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：本题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n项和等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将已知表达式取倒数，再分离常数、用配凑法证明数列是等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出，再计算，用错位相减法求和，在化简过程中用等比数列的前n项和计算即可．

试题解析：（1）证明：，

，

又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．

（2）解：由（1）知，

即，

设，①

则，②

由①－②得，，

，

又，

∴数列的前n项和．

考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n项和．

22．（1），；（2）.

【解析】

试题分析：本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．第一问，利用平方关系消参，得到曲线的普通方程，利用，，，转化，得到直线的直角坐标方程；第二问，利用点到直线的距离公式列出表达式，再利用两角和的正弦公式化简，求三角函数的最值即可得到结论.

试题解析：（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为．

（2）设点坐标为，

点到直线的距离

所以点到直线距离的最大值为．

考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离.

23．（Ⅰ）或（Ⅱ）

【解析】

试题分析：不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）原命题等价于在上恒成立，由此求得求的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）当时，或或或．

（Ⅱ）原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立．

考点：1．绝对值不等式的解法；2．带绝对值的函数．