黑龙江省大庆一中2017届高三下学期第二阶段考试（4月）数学（文）试卷

大庆一中高三年级下学期第二阶段考试

数学（文科）试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（ ）

A．B．C．D．

2.已知复数，则在复平面内，复数对应的点位于( )

1. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
   3.已知在区间之间任取一实数，则使”的概率为（　　）
   A．B．C．D．
   4.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其余人员120人。为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）
   A．12,24,15,9B．9,12,12,17
   C．8,15,12,5 D．8,16,10,6
   5.已知等比数列满足:，则(　　)
   A．21 B．42 C．63 D．84
   6.阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为( ) A．B．C．D．
   7.已知，曲线在点处的切线的斜率为，则当取最小值时的值为（ ）
   A．B． C.1 D．2
   8.函数的部分图象为（　　）
   A．B．C．D．
   9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）
   A．B．4C．8D．
   10.已知函数对任意自变量都有，且函数在上单调．若数列是公差不为的等差数列，且，则的前2017项之和为( )
   A． B. 2017 C. D．4034
   11.<<九章算术>>中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四
   个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑,⊥平面,
   ，,三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面
   积为 （ ）
   A．B．C．D．
   12.已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点F₁(－c,0)，F₂(c,0)，若c是a，m的等比中项，n²是2m²与c²的等差中项，则椭圆的离心率是(　　)
   1. B.

C.D.

第Ⅱ卷（共90分）

1. 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量，，若∥，则.

14.实数，满足则的最大值为 ．

15.钝角三角形的面积是，，，则．

16.在平面直角坐标系中，过动点分别作圆和圆的切线(为切点)，若，则的最小值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.

1. 求ω的值;
2. 求f(x)的单调递增区间.

18.某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号依次为1,2,3,4,5.现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：

1. 若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，等级编号为5的恰有2件，
   求a，b，c的值；
2. 在(1)的条件下，将等级编号为4的3件产品记为x₁，x₂，x₃，等级编号为5的2件产品记为y₁，y₂，现从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂这5件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率．

19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点E是棱PC的

中点，平面与棱交于点．

1. 求证：AB∥EF；
2. 若，且平面平面，求三棱锥的体积；

20.已知抛物线（）的焦点为，点是抛物线上横坐标为3的点，且到抛物线焦点的距离等于4，

1. 求抛物线的方程；
2. 过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值.

21.已知函数．

1. 求的最大值；
2. 令，当时，的最大值为，有两个不同的根，求的取值范围；
3. 存在且，使成立，求的取值范围。

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.资*源%库

（1）求直线和曲线的普通方程；

（2）设直线和曲线交于两点，求.资*源%库

23.选修4-5：不等式选讲

设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.

大庆一中高三年级下学期第二阶段考试

数学（文科）答案

选择填空

AACDB BAACB CD 24

解答题

17.解　(1)f(x)＝2sinωxcosωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx

＝＝sin，

由ω＞0，f(x)的最小正周期为π，得＝π，解得ω＝1.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

即f(x)的单调递$来&源：增区间为(k∈Z).

18.解：(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.

因为抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.

等级编号为5的恰有2件，所以c＝＝0.1，

从而a＝0.35－b－c＝0.1.

所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.

(2)从产品x₁，x₂，x₃，y₁，y₂中任取两件，所有可能的结果为：

(x₁，x₂)(x₁，x₃)，(x₁，y₁)，(x₁，y₂)，(x₂，x₃)，(x₂，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₁)，(x₃，y₂)，(y₁，y₂)，共10种．

设事件A表示“从5件产品中任取两件，其等级编号相同”，则A包含的基本事件为：(x₁，x₂)，(x₁，x₃)，(x₂，x₃)，(y₁，y₂)，共4种，

故所求的概率为P(A)＝＝0.4.

19.（1）∵底面是菱形，∴，又∵面，面，

∴面，又∵，，，四点共面，且平面平面，

∴；

(2)

20.(I)由抛物线（）的准线为，

由题意，，

所求抛物线的方程为.

(II)，由题意，直线、的斜率都存在且不为0，

设直线的方向向量为（），则也是直线的一个法向量，

直线的方程为，即，

直线的方程为，即，

设，，，，

由，得，

则，，

同理，由，可得，，

，

，

的面积为，

1. 解：（1）。令得。
   当时，单调递增；
   当时，单调递减。
   所以函数的最大值为。
2. 由（1）可知。。

若，则，单调递减，不可能有两个根。

若，则当时，，单调递减，

当时，，单调递增，所以，解得。

综上可得，的取值范围是（0,1）.

1. 不妨设，由（1）知当时，单调递减，等价于，即成立。

令在上存在减区间，则有解，则有解，则。令，。

当时，；当时，。所以。

所以k的取值范围为。

22.解：（Ⅰ）因为，

所以

由，

得…………………………3分

因为消去得

所以直线和曲线的普通方程分别为和. …………4分

（Ⅱ）点的直角坐标为，点在直线上，

设直线的参数方程：（为参数），对应的参数为.

…………………………7分

…………………………10分

23.解：（1）函数可化为

当时，，不合题意；

当时，，即；

当时，，即.

综上，不等式的解集为.

（2）关于的不等式有解等价于，

由（1）可知，（也可由，得），

即，解得.

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线资*源%库的参数方程是（为参数）.

（1）求直线和曲线的普通方程；

（2）设直线和曲线交于两点，求.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数（）

（1）当时，解不等式；

（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.

已知等比数列{a_n}满足a₁＝3，a₁＋a₃＋a₅＝21，则a₃＋a₅＋a₇＝(　　)

A．21 B．42

C．63 D．84

解析：基本法：∵a₃＝a₁·q²，a₅＝a₃·q²＝a₁·q⁴，

∴3＋3q²＋3q⁴＝21

∴q⁴＋q²－6＝0，∴q²＝2

∴a₃＝3×2＝6，a₅＝6×2＝12，a₇＝24

∴a₃＋a₅＋a₇＝42.

速解法：由题意知，a₃＋a₅＝18，

又a₃＝a₁q²，a₅＝a₁q⁴，

∴a₁q²＋a₁q⁴＝18，∴q⁴＋q²－6＝0，

解得q²＝2或－3(舍去)．

∴a₃＋a₅＋a₇＝(a₁＋a₃＋a₅)q²

＝21×2＝42.