黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（理）试卷

高三第一阶段测试 数学(理)试题

命题人:孙丹丹 审题人:关中标

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合A={x|y=}，B={x|x²﹣x＞0}，则A∩B=（　　）

A．{x|x≥0} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＜0或x＞1}

2.若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（　　）

A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）

3.有下列命题：

①设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；

②命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M；

③若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；

④命题P：“”的否定￢P：“∀x∈R，x²﹣x﹣1≤0”

则上述命题中为真命题的是（　　）

A．①②③④B．①③④C．②④D．②③④

4.已知角α终边上一点P（﹣4，3），则sin（+α）的值为（　　）

A．B．C．D．

5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）

A．y=lnxB．y=x²C．y=cosxD．y=2^﹣|x|

6.函数f（x）=（）cosx的图象大致为（　　）

A．B．

C．D．

7.已知，且，则sin2α的值为（　　）

A．B．C．D．

8.由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（　　）

A．B．4C．D．6

9.将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）

1. B.C.D.

10.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（　　）

A．y=sin2xB．y=cos2xC．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）

11.已知函数（a∈R），若函数y=|f（x）|﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣2B．a＞2C．0＜a＜1D．1≤a＜2

12.设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+

xf′（x）＞ln（x+1），则不等式（x﹣2017）³f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（　　）A．（2020，+∞） B．（0，2014） C．（0，2020） D．（2014，+∞）

第Ⅱ卷（共90分）

1. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13.计算：（）+（log₃16）•（log₂）=　　 ．

14.若，则__________．

15.已知，则的值为     ；

16.函数f（x）=e^x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是　　 ．

三.解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

设命题：函数在区间[－1,1]上单调递减；命题：使等式成立，如果命题或为真命题，且为假命题，求的取值范围.

18. （本题满分12分）

设，且．

（Ⅰ）求的值及的定义域；

（Ⅱ）求在区间上的值域．

19. （本题满分12分）

已知函数 f （ x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x．

（Ⅰ）求函数 f （ x） 图象的对称轴方程；

（Ⅱ）将函数 y=f （ x） 的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g （ x） 的图象，求 y=g （ x） 在[，2π]上的值域．

20. （本题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

21. （本题满分12分）

设函数f（x）=（x﹣a）lnx+b．

（Ⅰ）当a=0时，讨论函数f（x）在[，+∞）上的零点个数；

（Ⅱ）当a＞1且函数f（x）在（1，e）上有极小值时，求实数a的取值范围．

22. （本题满分12分）

设函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．

（Ⅰ）若a＞0，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处有极值，请证明：对任意θ∈[0，]时，

都有|f（cosθ）﹣f（sinθ）|＜2．

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高三第一阶段测试 数学(理)

试卷答案

1.C2.B3.C4.A5.D

【解答】解：y=lnx不是偶函数，排除A；

y=cosx是周期函数，在区间（0，+∞）上不单调递减，排除C；

y=x²在区间（0，+∞）上单调递增，排除B；

故选D．

6.C【解答】解：函数f（x）=（）cosx，当x=时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈（0，1）时，cosx＞0，

＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方．

排除D．

故选：C．

7.C【解答】解：∵，且，

∴2（cos²α﹣sin²α）=（cosα+sinα），

∴cosα﹣sinα=，或 cosα+sinα=0．

当cosα﹣sinα=，则有1﹣sin2α=，sin2α=；

∵α∈（0，），

∴cosα+sinα=0不成立，

故选：C．

8.C【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），

因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：

S=．故选C．

9.D

10.D【解答】解：由图象知A=1，T=﹣=，T=π⇒ω=2，

由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=

⇒φ=

⇒f（x）=sin（2x+），

则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），

故选D．

11.B【解答】解：（1）若a＜0，|f（x）|≥0，显然|f（x）|=a无解，不符合题意；

（2）若a=0，则|f（x）|=0的解为x=1，不符合题意；

（3）若a＞0，作出y=|f（x）|的哈数图象如图所示：

∵|f（x）|=a有三个解，∴a＞2，

故选B．

12.A【解答】解：定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），

所以3x²f（x）+x³f′（x）＞x²ln（x+1）＞0（x＞0），可得[x³f（x）]′＞0，

所以函数g（x）=x³f（x）在（0，+∞）是增函数，

因为（x﹣2017）³f（x﹣2017）﹣27＞0，且f（3）=1，

所以（x﹣2017）³f（x﹣2017）＞3³f（3），即g（x﹣2017）＞g（3），

所以x﹣2017＞3，解得x＞2020．

则不等式（x﹣2017）³f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为：（2020，+∞）．

故选：A．

13.﹣5 14.3

，所以.

15.

试题解析：因为，
=
故答案为：

16.y=x

17

18.(1)；(2).

试题分析：(1)由可求出，由对数的真数为正数，即可求函数的定义域；

(2)由及复合函数的单调性可知，当时，是增函数；当时，是减函数，由单调性可求值域.

考点：1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性.

19.【解答】解：（Ⅰ）∵f （ x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sinxcosx

=sin2x+cos2x+cos2x﹣sin2x+sin2x

=cos2x+sin2x

=2sin（2x+），

∴令2x+=kπ+，k∈Z，解得函数 f （ x） 图象的对称轴方程：x=+，k∈Z，

（Ⅱ）将函数 y=f （ x） 的图象向右平移个单位，可得函数解析式为：y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x+），

再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 解析式为：y=g （ x）=2sin（+），

∵x∈[，2π]，

∴+∈[，]，可得：sin（+）∈[﹣，1]，

∴g （ x）=2sin（+）∈[﹣1，2]．

20.【解答】解：（Ⅰ）∵，

所以（2c﹣b）•cosA=a•cosB

由正弦定理，得（2sinC﹣sinB）•cosA=sinA•cosB．

整理得2sinC•cosA﹣sinB•cosA=sinA•cosB．

∴2sinC•cosA=sin（A+B）=sinC．

在△ABC中，sinC≠0．

∴，．

（Ⅱ）由余弦定理，．

∴b²+c²﹣20=bc≥2bc﹣20

∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．

∴三角形的面积．

∴三角形面积的最大值为．

22.【解答】解：（1）f'（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=，

当时，，f（x）在R上单调递增；

当时，f'（x）＞0，解得x＞﹣2或；f'（x）＜0，解得，

故函数f（x）在和（﹣2，+∞）上单调递增，在上单调递减．

当时，f'（x）＞0，解得或x＜﹣2；f'（x）＜0，解得，

故函数f（x）在（﹣∞，﹣2）和上单调递增，在上单调递减．

所以当时，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，+∞）；

当时，f（x）的单调递增区间是和（﹣2，+∞），单调递减区间是；

当时，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和，单调递减区间是．

（2）证明：∵x=1时，f（x）有极值，∴f'（x）=3e（a+1）=0，∴a=﹣1，

∴f（x）=e^x（﹣x²+x+1），f'（x）=﹣e^x（x﹣1）（x+2），

由f'（x）＞0，得﹣2＜x＜1，∴f（x）在[﹣2，1]上单调递增．

∵，∴sinθ，cosθ∈[0，1]，

∴|f（cosθ）﹣f（sinθ）|≤f（1）﹣f（0）=e﹣1＜2．

21.

【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=xlnx+b，

∴f′（x）=1+lnx≥0在[，+∞）上恒成立，

∴f（x）在[，+∞）单调递增，

∴f（x）_min=f（）=﹣+b，

当﹣+b≤0时，即b≤时，函数有唯一的零点，

当﹣+b＞0时，即b＞，函数没有零点，

（2）∵f′（x）=lnx+，x∈（1，e）

令g（x）=lnx+，

∴g′（x）=+＞0恒成立，

∴g（x）在（1，e）上单调递增，

∴g（x）＞g（1）=1﹣a，g（x）＜g（e）=2﹣，

∵函数f（x）在（1，e）上有极小值，

∴，

解得1＜a＜2e，

故a的取值范围为（1，2e）