黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2015届高三上学期期末考试数学（文）试卷

齐齐哈尔市实验中学2014—2015学年度上学期期末考试

高三数学（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合则

1. B.C.D.

2.已知复数，则的共轭复数等于

1. B.C.D.

3.有10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12. 设其平均数为，中位数为，众数为，则有

1. B.C.D.

4.连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为，记向量的夹角为，则的概率是

1. B.C.D.

5.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是

1. B.

C.D.

6.点是曲线上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是

1. B.C.D.

7.下列命题中真命题的个数是

①

②都不是偶函数

③命题，则命题

④，函数的图像都有三个交点

⑤命题甲“成等比数列”是命题乙“成等差数列”的充要条件

1. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V₁,V₂,V₃,V₄,若上面两个几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有

A.V₁243B.V₁324

C.V₂134D.V₂314

9.若是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形面积的最小值是2，则

1. B.C.D.

10.已知等差数列的公差不为零，等比数列的公比是小于1的正有理数.若，且是正整数，则的值可以是

1. B.C.D.

11.已知都是定义在R上的函数，，且，对于数列，任取正整数，则其前项和大于的概率为

1. B.C.D.

12.已知定义在上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为

1. B.C.D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若变量满足的最大值为，则；

14.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 ；

15.在中成立，在四边形中成立，在五边形中成立，猜想在边形中不等式 成立；

16.已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，该棱锥的高为，且点都在半径为1的同一个球面上，则顶点与面的中心之间的距离；

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17（本题满分12分）

在锐角中，于点.

（1）求证：;

（2）求的长.

18.（本题满分12分） 如图,在四棱锥中,平面,,,

,是的中点.

1. 求证:⊥平面;
2. 若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求四棱锥的体积.

19.（本题满分12分）某校高三(1)班的一次数学考试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图所示，据此解答如下问题：

1. 求分数在[50,60)的频率及全班人数；
2. 求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
3. 若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．

20.（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形，直线与抛物线相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于两点. 是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

21.（本题满分12分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数.，存在实数成立，求实数的取值范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，圆O的直径，弦DE⊥AB于点H，．

（1）求DE的长；

（2）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，

若，求的长.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）求直线被曲线截得的弦长.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数的解集为

（1）求的值；

（2）若

齐齐哈尔市实验中学2014—2015学年度上学期期末考试

高三数学试题（文科答案）2015-1-10

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

8.【解析】选C. V₁=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 71<8,V₂=2π<7; V₃=8;

V₄=(4++16)= >9, 所以V₂134.

12.【解析】记，则，于是是R上的减函数，且不等式即，即，所以选D。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

(13)(14)(15)

（16）

三、解答题

17.（1）证明：

所以，--------------------------------------6分

（2），

即，将代入并整理得

解得，舍去负值得，

设边上的高为，则

由，得所以边上的高等于------------12分

18.(1)如图(1),连接,由,得

是的中点,所以

所以

而内的两条相交直线,所以⊥平面

(2)过点作

由(1)⊥平面知,⊥平面.于是为直线与平面

所成的角,且

由知,为直线与平面所成的角

由题意,知

因为所以

由所以四边形是平行四边形,故于是

在中,所以

于是

又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

--------------------------------------12分

19.解　(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，

由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，

所以全班人数为＝25.

(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；

频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016.

(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，

其中，至少有一份在[90,100]之间的基本事件有9个，

故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是＝0.6. -------------------------12分

20.（1）由，消去y得，

又直线与抛物线相切，--3分

椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形，

所以,椭圆C的方程为-------------------------------5分

（2）当直线与轴平行时，以AB为直径的圆的方程为

当直线与重合时，以AB为直径的圆的方程为

由，解得，即两圆相切于点，

所以，所求点如果存在，只能是. ----------------------------------------8分

事实上，点就是所求点，证明如下：

设直线，由消去

设，则

又

,即以AB为直径的圆恒过点-------------------------------------------11分

所以，存在一个定点满足条件. --------------------------------------------------12分

21.(1)函数的定义域为R，， ---------------------------2分

当增；

当减，

的单调递增区间为，单调递减区间为---------------4分

（2）假设存在实数，使得成立，则

----------------------------6分

①当------8分

②当----10分

③当，

若在上单调递增，

， （*）

由（1）知，上单调递减，故，

所以，不等式（*）无解.

综上，存在是命题成立. -------------------------12分

22. (1) ； (2)

23.（1）由曲线得，

化成直角坐标方程为.

（2）弦长为

24.（1）因为，

由，

又故

（2）证明：由（1）知，

由柯西不等式得