2019学年四川省成都七中高三（上）零诊模拟数学试卷（文科）.docx

2019学年四川省成都七中高三（上）零诊模拟数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，集合，则　　

A．B．C．D．

2．（5分）在复平面，复数对应的点在　　

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．（5分）我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约　　

A．164石B．178石C．189石D．196石

4．（5分）下列选项中说法正确的是　　

A．命题“为真”是命题“为真”的必要条件

B．向量，满足，则与的夹角为锐角

C．若，则

D．“，”的否定是“，”

5．（5分）设为等差数列的前项和，，，则　　

A．B．C．D．2

6．（5分）已知双曲线的离心率为，且抛物线的焦点为，点，在此抛物线上，为线段的中点，则点到该抛物线的准线的距离为　　

A．B．2C．D．1

7．（5分）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表

广告费用（万元）	4	2	3	5
销售额（万元）	49	26	39	54

根据上表可得回归方程的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为　　

A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元

8．（5分）按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是　　

A．B．C．D．

9．（5分）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为　　

A．B．C．D．1

10．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正方形的边都是1，则该三棱锥的体积为　　

A．B．C．D．

11．（5分）已知双曲线，的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率等于　　

A．B．C．D．

12．（5分）如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量，为实数），则的最大值是　　

A．2B．3C．5D．6

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）已知点的坐标满足条件则的最大值为　　．

14．（5分）已知数列满足，，则　 　．

15．（5分）已知四面体的每个顶点都在球的球面上，底面，，，则球的表面积为　 　．

16．（5分）已知函数，且是函数的极值点．给出以下几个问题：

①；

②；

③；

④

其中正确的命题是　　．（填出所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（12分）已知函数，其中，，．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）在中，角、、所对的边分别为、、，（A），且向量与共线，求边长和的值．

18．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了该农产品．以（单位：，表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（Ⅰ）将表示为的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57000元的概率．

19．（12分）如图，四边形为梯形，，平面，，，，为中点．

（1）求证：平面平面；

（2）线段上是否存在一点，使平面？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由．

20．（12分）已知抛物线，定点（常数的直线与曲线相交于、两点．

（1）若点的坐标为，求证：；

（2）若，以为直径的圆的位置是否恒过一定点？若存在，求出这个定点，若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数，，．

（1）设函数，若在区间上单调，求实数的取值范围；

（2）求证：．

22．（10分）已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数）．

（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换得到曲线，若点，直线与交与，，求，．

2017-2018学年四川省成都七中高三（上）零诊模拟数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，集合，则　　

A．B．C．D．

【考点】：并集及其运算

【专题】：集合

【分析】分别求出与中不等式的解集确定出与，找出与的并集即可．

【解答】解：由中的不等式变形得：，得到，

，

由中的不等式变形得：，得到，即，

则，

故选：．

【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

2．（5分）在复平面，复数对应的点在　　

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【考点】：复数的代数表示法及其几何意义

【专题】38：对应思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面，复数对应的点的坐标得答案．

【解答】解：，

则在复平面，复数对应的点的坐标为：，位于第二象限．

故选：．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3．（5分）我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约　　

A．164石B．178石C．189石D．196石

【考点】：简单随机抽样

【专题】11：计算题；34：方程思想；：演绎法；：概率与统计

【分析】根据216粒内夹谷27粒，可得比例，即可得出结论．

【解答】解：由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为，

则由此估计总体中谷的含量约为石．

故选：．

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．

4．（5分）下列选项中说法正确的是　　

A．命题“为真”是命题“为真”的必要条件

B．向量，满足，则与的夹角为锐角

C．若，则

D．“，”的否定是“，”

【考点】：命题的真假判断与应用

【专题】38：对应思想；48：分析法；：简易逻辑

【分析】，根据、的真值表判定；

，根据向量数量积的定义，向量，满足，则与的夹角为锐角或同向；

，如果时，成立，不一定成立；

，“，”的否定是“，”．

【解答】解：对于，若为真命题，则，至少有一个为真命题，若为真命题，则，都为真命题，则“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，正确；

对于，根据向量数量积的定义，向量，满足，则与的夹角为锐角或同向，故错；

对于，如果时，成立，不一定成立，故错；

对于，“，”的否定是“，”，故错．

故选：．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查复合命题的真假判断、充分必要条件的概念及应用、四种命题及全称命题与特称命题之间的关系，属于中档题．

5．（5分）设为等差数列的前项和，，，则　　

A．B．C．D．2

【考点】84：等差数列的通项公式

【专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；54：等差数列与等比数列

【分析】利用等差数列有前项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第9项．

【解答】解：为等差数列的前项和，

，，

，

解得，，

．

故选：．

【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

6．（5分）已知双曲线的离心率为，且抛物线的焦点为，点，在此抛物线上，为线段的中点，则点到该抛物线的准线的距离为　　

A．B．2C．D．1

【考点】：抛物线的性质；：双曲线的性质

【专题】11：计算题；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】依题意，可求得双曲线的离心率，于是知，从而可求抛物线的焦点，准线方程为，继而可得点的横坐标为，从而得到答案．

【解答】解：双曲线的离心率，

，

抛物线的焦点，准线方程为；

又点在此抛物线上，为线段的中点，

点的横坐标为：，

点到该抛物线的准线的距离，

故选：．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查双曲线的离心率，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．

7．（5分）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表

广告费用（万元）	4	2	3	5
销售额（万元）	49	26	39	54

根据上表可得回归方程的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为　　

A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元

【考点】：线性回归方程

【专题】：概率与统计

【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．

【解答】解：，

，

数据的样本中心点在线性回归直线上，

回归方程中的为9.4，

，

，

线性回归方程是，

广告费用为6万元时销售额为，

故选：．

【点评】本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现．

8．（5分）按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是　　

A．B．C．D．

【考点】：程序框图

【专题】15：综合题；31：数形结合；：演绎法；：算法和程序框图

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，输出结果为31，退出循环，即可得出结论．

【解答】解：由题意，，，，，，，

，，，，，，符合条件输出，

故选：．

【点评】本题考查直到型循环结构程序框图运算，正确写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题．

9．（5分）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为　　

A．B．C．D．1

【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用

【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与轴和直线的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．

【解答】解：，

，

切线的斜率，且过点，

切线为：，，

切线与轴交点为：，，

与的交点为，，

切线与直线和围成的三角形的面积为：，

故选：．

【点评】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力，求出切线方程是关键．

10．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正方形的边都是1，则该三棱锥的体积为　　

A．B．C．D．

【考点】：由三视图求面积、体积

【专题】31：数形结合；46：分割补形法；：空间位置关系与距离

【分析】根据题意知该三棱锥可由正方体截割4个全等的三棱锥得到，

由此求出该三棱锥的体积．

【解答】解：如图所示，

该三棱锥可由正方体截割得到，

如图中三棱锥，

且正方体的棱长为1；

所以该三棱锥的体积为

．

故选：．

【点评】本题考查了由三视图求三棱锥体积的应用问题，是基础题．

11．（5分）已知双曲线，的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率等于　　

A．B．C．D．

【考点】：双曲线的性质

【专题】35：转化思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】求出圆的标准方程，求得圆心与半径，利用双曲线的渐近线和圆相切的等价条件建立方程得到，的关系即可得到结论．

【解答】解：圆的标准方程为，

则圆心为，半径，

由，，

则双曲线的焦点在轴，则对应的渐近线为，

设双曲线的一条渐近线为，即，

一条渐近线与圆相切，

即圆心到直线的距离，

即，

平方得，

即，

则，

则，平方得，

即，

则，

离心率，

故选：．

【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，圆的标准方程，考查直线和圆相切的等价条件，考查学生的计算能力，属于中档题．

12．（5分）如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量，为实数），则的最大值是　　

A．2B．3C．5D．6

【考点】：几何概型

【专题】11：计算题；31：数形结合；：演绎法；：平面向量及应用

【分析】利用平面向量的运算法则结合题意将原问题转化为向量的投影问题，然后数形结合即可求得最终结果．

【解答】解：由题意可得：

，

同理，，

两式相加可得：；

，．

．

，其几何意义就是在上的投影．

求的最大值就转化为求在上投影最大值．

从图形上可以看出：当点和点重合时，在上的投影取到最大值5．

故选：．

【点评】本题考查平面向量的坐标运算，数形结合解题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）已知点的坐标满足条件则的最大值为　10　．

【考点】：简单线性规划

【专题】59：不等式的解法及应用

【分析】先画出满足约束条件件的平面区域，表示动点到原点的距离的平方，只需求出可行域内的动点到原点的距离最大值即可．

【解答】解：满足约束条件件的平面区域如下图所示：

因为目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，

由图得当为点时取得目标函数的最大值，

可知点的坐标为，

代入目标函数中，可得．

故答案为：10．

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．

14．（5分）已知数列满足，，则　255　．

【考点】：数列递推式

【专题】34：方程思想；：转化法；54：等差数列与等比数列

【分析】利用累加求和方法、等比数列的求和公式即可得出．

【解答】解：，

则

．

故答案为：255．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．（5分）已知四面体的每个顶点都在球的球面上，底面，，，则球的表面积为　　．

【考点】：球的体积和表面积

【专题】35：转化思想；：转化法；：球

【分析】根据，求解外接圆的半径，根据球半径求解，可得球的表面积．

【解答】解：底面，，

底面外接圆的半径．

底面，，

球半径，

即．

球的表面积．

故答案为：．

【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

16．（5分）已知函数，且是函数的极值点．给出以下几个问题：

①；

②；

③；

④

其中正确的命题是　①③　．（填出所有正确命题的序号）

【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值

【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用

【分析】求导数，利用零点存在定理，可判断①②；，可判断③④．

【解答】解：函数，

，

，

，，

，即①正确，②不正确；

，即③正确，④不正确．

故答案为：①③．

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力，比较基础．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（12分）已知函数，其中，，．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）在中，角、、所对的边分别为、、，（A），且向量与共线，求边长和的值．

【考点】：平面向量数量积的性质及其运算；：三角函数中的恒等变换应用

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质；：平面向量及应用

【分析】（1）利用数量积公式得到关于三角函数的表达式，然后利用三角函数公式化简为一个角一个函数名称的形式，然后利用余弦函数的单调性得到所求；

（2）首先利用（1）是结论求出，然后利用余弦函数得到关于，的一个等式；然后利用向量共线得到，的另一个等式；解方程组即可．

【解答】解：（1）由已知得到，

所以令，解得，

函数的单调递减区间，；

（2）（A），得到，所以，①

又且向量与共线，

得到，由正弦定理得到，②

由①②解得，．

【点评】本题考查了平面向量的数量积公式以及三角函数式的化简以及三角函数的性质的运用；属于中档题．

18．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了该农产品．以（单位：，表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（Ⅰ）将表示为的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57000元的概率．

【考点】：频率分布直方图

【专题】：概率与统计

【分析】由题意先分段写出，当，时，当，时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．

由知，利润不少于57000元，当且仅当．再由直方图知需求量，的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润不少于57000元的概率的估计值．

【解答】解：由题意得，当，时，，

当，时，，

．

由知，利润不少于57000元，当且仅当．

由直方图知需求量，的频率为0.7，

所以下一个销售季度的利润不少于57000元的概率的估计值为0.7．

【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义．

19．（12分）如图，四边形为梯形，，平面，，，，为中点．

（1）求证：平面平面；

（2）线段上是否存在一点，使平面？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由．

【考点】：直线与平面平行；：平面与平面垂直

【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；：空间位置关系与距离

【分析】（1）连结，由已知求解三角形可得，再由为中点，可得，由平面，可得，然后利用线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面；

（2）当点位于三分之一分点（靠近点）时，平面．

连结，交于点，由题意可得，再由，得，由，可得，从而得到，由线面平行的判定得平面．

【解答】（1）证明：连结，

，，，

，

为中点，

，

又平面，

，

，

平面，

平面，

平面平面；

（2）解：当点位于三分之一分点（靠近点）时，平面．

证明如下：连结，交于点，

，，

又，，

从而在中，，

而，

，而平面，平面，

平面．

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

20．（12分）已知抛物线，定点（常数的直线与曲线相交于、两点．

（1）若点的坐标为，求证：；

（2）若，以为直径的圆的位置是否恒过一定点？若存在，求出这个定点，若不存在，请说明理由．

【考点】：抛物线的性质

【专题】15：综合题；34：方程思想；41：向量法；：向量与圆锥曲线

【分析】（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性有，；当直线与轴不垂直时，依题意设直线的方程为，，，，，联立直线方程与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，结合根与系数的关系及斜率公式可证；

（2）以为直径的圆恒过定点．当直线垂直于轴时，可得，，此时；当当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，，，联立直线方程与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求出，横纵坐标的积，结合可得以为直径的圆的位置是否恒过一定点．

【解答】解：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性有，；

当直线与轴不垂直时，依题意，

可设直线的方程为，，，

，，

则、两点的坐标满足方程组，

消去并整理，得．

，，

设直线和的斜率分别为，，则

．

，

，

，，

．

综合上可知：；

（2）以为直径的圆恒过定点．

证明如下：当直线垂直于轴时，可得，，此时；

当当直线与轴不垂直时，依题意，

可设直线的方程为，，，，，

则、两点的坐标满足方程组，消去并整理，得．

，，

则．

．

以为直径的圆的位置是否恒过一定点．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．

21．（12分）已知函数，，．

（1）设函数，若在区间上单调，求实数的取值范围；

（2）求证：．

【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值

【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用

【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，或在上恒成立，求出的范围即可；

（2）设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而证明结论．

【解答】解：（1）由题意得，所以，因为，

所以，

若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，

即在上恒成立，所以，

若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，

即在上恒成立，所以，

综上，实数的取值范围为．

证明：（2）设，

则，设，则，

所以在上单调递增，

由，（1）得，存在唯一的使得，

所以在上有，在，上有

所以在上单调递减，在，递增，

，

所以，故，．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．

22．（10分）已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数）．

（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换得到曲线，若点，直线与交与，，求，．

【考点】：参数方程化成普通方程

【专题】11：计算题；34：方程思想；：演绎法；：坐标系和参数方程

【分析】（Ⅰ）结合所给的方程进行转化即可；

（Ⅱ）首先进行伸缩变换，然后联立直线的参数方程与椭圆方程，结合直线的参数的几何意义即可求得最终结果．

【解答】解：（Ⅰ）的普通方程为，；

（Ⅱ）根据条件可求出伸缩变换后的方程为，

即，直线的参数方程为参数），

带入椭圆：

化简得，，，

所以，

【点评】本题考查参数方程的应用，直线参数方程的几何意义，伸缩变换的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．

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日期：2019/4/8 9:02:26；用户：tp；邮箱：lsgjgz137@xyh.com；学号：21474120