2019学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（上）月考数学试卷（文科）.docx

2019学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（上）月考数学试卷（文科）（4）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）若集合，且，则集合可能是　　

A．，B．C．，0，D．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．，B．

C．D．

3．（5分）以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为　　

A．B．

C．D．

4．（5分）函数的值域不可能是　　

A．，B．，C．，D．

5．（5分）已知向量，，若，则实数　　

A．B．3C．6D．8

6．（5分）若偶函数在，上单调递减，，，，则，，满足　　

A．B．C．D．

7．（5分）在中，若，，，则　　

A．B．C．或D．或0

8．（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是　　

A．，B．，C．，D．，

9．（5分）已知两点，，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”．给出下列直线：①②③④其中为“型直线”的是　　

A．①③B．①②C．③④D．①④

10．（5分）函数的图象大致是　　

A．B．

C．D．

11．（5分）在正方体中，，分别是棱，的中点，是与的交点，面与面相交于，面与面相交于，则直线，的夹角为　　

A．0B．C．D．

12．（5分）设，，，，若对于任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为　　

A．2组B．4组C．5组D．6组

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是　 　．

14．（5分）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则　 　．

15．（5分）已知函数在处有极值为10，则（2）等于　 　．

16．（5分）定义，设实数，满足约束条件，，，则的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．

（1）求与的通项公式；

（2）证明：．

18．（12分）如图，在三棱锥中，，，点为中点，是上一点，底面，面．

（Ⅰ）求证：点为中点；

（Ⅱ）当取何值时，在平面内的射影恰好是的中点．

19．（12分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：

甲	6	6	9	9
乙	7	9

（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求的值；

（Ⅱ）如果，，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，求的概率；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）

20．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点，问：△的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．

21．（12分）已知函数，，．

（1）若，曲线在点，（1）处的切线与轴垂直，求的值；

（2）若，试探究函数与在其公共点处是否有公切线，若存在，研究的个数；若不存在，请说明理由．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是为参数）和为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆和的极坐标方程；

（2）射线与圆的交点为、，与圆的交点为、，求的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知，，，且．

（1）求证：；

（2）若，使得对一切实数，，不等式恒成立，求的取值范围．

2016-2017学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（上）月考数学试卷（文科）（4）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）若集合，且，则集合可能是　　

A．，B．C．，0，D．

【考点】16：子集与真子集

【专题】37：集合思想；：定义法；：集合

【分析】集合，且，则故，进而可得答案．

【解答】解：集合，且，

故，

故答案中，满足要求，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是集合的子集，集合的交集运算，难度不大，属于基础题．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．，B．

C．D．

【考点】：命题的否定

【专题】11：计算题；38：对应思想；：定义法；：简易逻辑

【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．

【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，

所以命题的否定：，

故选：．

【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．

3．（5分）以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为　　

A．B．

C．D．

【考点】：点到直线的距离公式；：圆的标准方程

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；：直线与圆

【分析】由题意，圆心到两条直线的距离相等，且为圆的半径，根据点到直线的距离公式相，可以求解出，进而求出半径；最后即可求出圆的标准方程．

【解答】由题意得，点到两条直线的距离相等，且为圆的半径．

，解得．

所求圆的标准方程为．

故选：．

【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．

4．（5分）函数的值域不可能是　　

A．，B．，C．，D．

【考点】：复合函数的单调性

【专题】51：函数的性质及应用

【分析】利用换元法，结合一元二次函数和对数函数的性质进行讨论求解即可．

【解答】解：设，

则函数为开口向上的抛物线，

若判别式△，则此时函数的值域为，

若判别式△，则函数恒成立，

此时函数有最小值，

当时，的值域为，，

当时，的值域为，，

故不可能是．

故选：．

【点评】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解问题，结合对数函数和一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．

5．（5分）已知向量，，若，则实数　　

A．B．3C．6D．8

【考点】：平面向量数量积的性质及其运算

【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；：平面向量及应用

【分析】根据条件即可求出，，代入即可得出关于的方程，解出即可．

【解答】解：，；

又；

；

，两边平方并整理得：

；

解得．

故选：．

【点评】考查根据向量坐标求向量长度的方法，向量数量积的坐标运算，无理方程的求法．

6．（5分）若偶函数在，上单调递减，，，，则，，满足　　

A．B．C．D．

【考点】：函数单调性的性质与判断；：对数值大小的比较

【专题】35：转化思想；：数学模型法；51：函数的性质及应用

【分析】由偶函数在，上单调递减，可得在，上单调递增，比较三个自变量的大小，可得答案．

【解答】解：偶函数在，上单调递减，

在，上单调递增，

，，

，

，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．

7．（5分）在中，若，，，则　　

A．B．C．或D．或0

【考点】：正弦函数的奇偶性和对称性

【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形

【分析】由余弦定理求得的值，可知为等腰三角形，，即可求得的值．

【解答】解：在中，由余弦定理可知：，

，

，

为等腰三角形，，

，

故选：．

【点评】本题考查余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于基础题．

8．（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是　　

A．，B．，C．，D．，

【考点】：简单空间图形的三视图

【专题】：空间位置关系与距离

【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．

【解答】解：相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．

其正视图和侧视图是一个圆，

俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上

俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，

故选：．

【点评】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，对于几何体，他描述的应该熟悉，想想出它的样子，才能够作对此题．

9．（5分）已知两点，，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”．给出下列直线：①②③④其中为“型直线”的是　　

A．①③B．①②C．③④D．①④

【考点】：曲线与方程

【专题】11：计算题；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】根据双曲线的定义，可得点的轨迹是以、为焦点，的双曲线，由此算出双曲线的方程为．再分别判断双曲线与四条直线的位置关系，可得只有①②的直线上存在点满足型直线的条件，由此可得答案．

【解答】解：点，，点使，

点的轨迹是以、为焦点，的双曲线

可得，双曲线的方程为

双曲线的渐近线方程为

直线与双曲线没有公共点，

直线经过点斜率，与双曲线也没有公共点

而直线、与直线都与双曲线有交点

因此，在与上存在点使，满足型直线的条件

只有①②正确

故选：．

【点评】本题给出“型直线”的定义，判断几条直线是否为型直线，着重考查了双曲线的定义标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识，属于基础题．

10．（5分）函数的图象大致是　　

A．B．

C．D．

【考点】：函数的图象与图象的变换

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用

【分析】利用特殊值法，判断函数的图象即可．

【解答】解：当时，，排除，；

当时，，排除，

故选：．

【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，特殊值法是判断函数的图象的有效方法之一．

11．（5分）在正方体中，，分别是棱，的中点，是与的交点，面与面相交于，面与面相交于，则直线，的夹角为　　

A．0B．C．D．

【考点】：异面直线及其所成的角；：空间中直线与直线之间的位置关系；：空间中直线与平面之间的位置关系

【专题】31：数形结合；35：转化思想；44：数形结合法；：转化法；：空间角

【分析】画出图象，可得即为，进而根据线面平行的判定定理和性质定理可得．

【解答】解：如图所示：

，分别是棱，的中点，

故，

则面即平面与面相交于，即直线，

由，可得平面，

故面与面相交于时，

必有，即，

即直线，的夹角为0，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是空间直线的夹角，线面平行的判定定理及性质定理，难度中档．

12．（5分）设，，，，若对于任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为　　

A．2组B．4组C．5组D．6组

【考点】：三角函数中的恒等变换应用

【专题】33：函数思想；：转化法

【分析】由题意确定，，从而可得满足条件的，，的组数．

【解答】解：由题意，他们周期和最值相同，

在，，的值可以取得，

．

同理：对任意实数都成立，他们周期相同，．

那么，只有唯一的值与其对应．

满足条件的，，的组数为4组．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数的性质的灵活运用．属于中档题．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是　2　．

【考点】：两条平行直线间的距离

【专题】11：计算题

【分析】先把两平行线方程中一次项的系数化为相同的，利用两平行线间的距离公式进行运算．

【解答】解：直线即，它直线平行，，则它们之间的距离是

，

故答案为：2．

【点评】本题考查两平行线间的距离公式的应用，注意需使两平行线方程中一次项的系数相同．

14．（5分）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则　　．

【考点】：抛物线的性质

【专题】11：计算题；35：转化思想；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】由题意得：抛物线焦点，准线方程．因为点到其焦点的距离为5，所以点到抛物线的准线的距离为：，从而得到，点代入该抛物线方程求解即可．

【解答】解：抛物线方程为

抛物线焦点为，，准线方程为

又点到其焦点的距离为5，

，根据抛物线的定义，得，

，抛物线方程为：．

在抛物线上，可得，解得

故答案为：．

【点评】本题给出一个特殊的抛物线，在已知其上一点到焦点距离的情况下，求准线方程．着重考查了抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的基本概念，属于基础题．

15．（5分）已知函数在处有极值为10，则（2）等于　18　．

【考点】：函数的值；：函数在某点取得极值的条件

【专题】11：计算题

【分析】对函数求导的导函数，利用导函数与极值的关系进行求解．

【解答】解：，或

当时，，在处不存在极值；

当时，

，，，，，适合

（2）．

故答案为18．

【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，即在该点处导函数值为0．

16．（5分）定义，设实数，满足约束条件，，，则的取值范围是　　．

【考点】：简单线性规划

【专题】13：作图题；23：新定义

【分析】先找出可行域，即四边形上及其内部，与相等的分界线，令时，点在四边形上及其内部，求得范围；令，点在四边形上及其内部（除边）求得范围，将这2个范围取并集可得答案．

【解答】解：当时可得

则原题可转化为：当，

作出不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分的，作直线然后把直线向可行域平移

则可知直线平移到时，平移到点时

此时有

当，

作出不等式组所表示的平面区域如图所示的作直线，然后把直线向可行域平移

则可知直线平移到时，平移到点时，

此时有

综上可得，

【点评】本题表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是还是并没有明确确定下来，直线又将原可行域分为两部分．解题的关键是通过比较与的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化．此题构思比较巧妙．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．

（1）求与的通项公式；

（2）证明：．

【考点】：数列的求和；：数列与不等式的综合

【专题】54：等差数列与等比数列

【分析】（1）利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比，等差数列的公差，即可求解；

（2）利用裂项法求和，即可得到结论．

【解答】（1）解：设的公差为，

，

，

解得或（舍，

故，；

（2）证明：，

．

【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项，考查裂项法求数列的和，考查数列与不等式的联系，属于中档题．

18．（12分）如图，在三棱锥中，，，点为中点，是上一点，底面，面．

（Ⅰ）求证：点为中点；

（Ⅱ）当取何值时，在平面内的射影恰好是的中点．

【考点】：三垂线定理

【专题】31：数形结合；49：综合法；：空间位置关系与距离

【分析】（Ⅰ）由平面得，由得，再由为中点得点为的中点；

（Ⅱ）作于点，证明平面，，利用勾股定理，列方程求出的值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：由平面，得，

又，则，

又为中点，所以点为的中点，（6分）

（Ⅱ）如图，

过作于点，

由，，，

平面，

又为的中点，为等腰三角形，

，

不妨设，则，，，

在中，，

代入解得．（12分）．

【点评】本题考查了空间中的垂直与平行关系的应用问题，也考查了证明与计算问题，是综合性题目．

19．（12分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：

甲	6	6	9	9
乙	7	9

（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求的值；

（Ⅱ）如果，，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，求的概率；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）

【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：概率与统计

【分析】（Ⅰ）由题意，得，，中至少有一个小于6，，由此能求出的值．

（Ⅱ）设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，记甲的4局比赛为，，，，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为，，，，各局的得分分别是7，9，6，10，利用列举法能求出的概率．

（Ⅲ）由题设条件能求出的可能取值为6，7，8．

【解答】（Ⅰ）解：由题意，得，即．（2分）

因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于（6分）的概率不为零，

所以，中至少有一个小于6，（4分）

又因为，，且，，

所以，

所以．（5分）

（Ⅱ）解：设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，（6分）

记甲的4局比赛为，，，，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛

为，，，，各局的得分分别是7，9，6，10．

则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，

它们是：，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，．（7分）

而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，，

，，，，，，，，（8分）

因此的概率．（10分）

（Ⅲ）解：的可能取值为6，7，8．（13分）

【点评】本题考查代数式和的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

20．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点，问：△的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．

【考点】：直线与圆锥曲线的综合

【专题】15：综合题；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（1）由椭圆的右焦点为，点在椭圆上，建立方程组，可得值，进而求出值后，可得椭圆方程；

（2）设，，，，分别求出，，结合相切的条件可得求出，可得结论．

【解答】解：（1）椭圆的右焦点为，点在椭圆上，

由题意，得，（2分）

解得，（4分）

椭圆方程为．（5分）

（2）设，，，，

，

，（8分）

连接，，由相切条件知：

，

，

（11分）

同理可求

为定值．（12分）

【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．

21．（12分）已知函数，，．

（1）若，曲线在点，（1）处的切线与轴垂直，求的值；

（2）若，试探究函数与在其公共点处是否有公切线，若存在，研究的个数；若不存在，请说明理由．

【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用

【分析】（1）求导函数，利用曲线在点，（1）处的切线垂直于轴，可得（1），从而可求的值；

（2）假设，的图象在其公共点，处存在公切线，分别求出导数，令，得，讨论，分，，令，研究方程解的个数，可构造函数，运用导数求出单调区间，讨论函数的零点个数即可判断．

【解答】解：（Ⅰ），

，

由于曲线在点，（1）处的切线垂直于轴，

故该切线斜率为0，即（1），即，

；

（2）假设，的图象在其公共点，处存在公切线，

由，得，，

由，得

，即，

即，则，

又函数的定义域为，

当时，，则，的图象在其公共点，处不存在公切线；

当时，令，，

即，

令，

，

则在递减，递增．且（2），

且当时，；当时，，

在有两个零点，

方程在解的个数为2．

综上：当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；

当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，的值有2个．

【点评】本题重点考查利用导数求切线方程和研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是为参数）和为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆和的极坐标方程；

（2）射线与圆的交点为、，与圆的交点为、，求的最大值．

【考点】：简单曲线的极坐标方程；：参数方程化成普通方程

【专题】：坐标系和参数方程

【分析】（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化成极坐标方程．

（2）根据圆的坐标形式．利用两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值．

【解答】解：（1）圆为参数），

转化成直角坐标方程为：

即：

转化成极坐标方程为：

即：

圆为参数），

转化成直角坐标方程为：

即：

转化成极坐标方程为：

即：

（2）射线与圆的交点为、，与圆的交点为、

则：，

则：，

则：

设

则：

则关系式转化为：

由于：

所以：．

【点评】本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程及极坐标方程之间的相互转化，三角函数关系式的恒等变换，利用换元法求三角函数的最值问题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知，，，且．

（1）求证：；

（2）若，使得对一切实数，，不等式恒成立，求的取值范围．

【考点】：绝对值三角不等式

【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；：不等式

【分析】（1）由题意可得，只需证，只需证，只需证，只需证．

（2）由题意得，即可求的取值范围．

【解答】（1）证明：要证原不等式成立，只需证，即证，

又．所以，只需证：，即，

因为．所以，只需证：，

只需证：，

即，而显然成立，

故原不等式成立；

（2）解：由题意得

由（1）知，

又，，的取值范围为：．

【点评】本题考查基本不等式，绝对值不等式的性质，恒成立，能成立综合问题，用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．

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日期：2019/4/8 8:33:38；用户：tp；邮箱：lsgjgz137@xyh.com；学号：21474120