2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（文科）.docx

2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知，，则等于　　

A．B．

C．D．，，

2．（5分）若复数满足，其中为虚数单位，则　　

A．2B．C．D．3

3．（5分）“”是“函数为常数）在定义域上是奇函数”的　　

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．（5分）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围　　

A．B．，，

C．D．，，

5．（5分）过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则　　

A．4B．2C．1D．

6．（5分）将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是　　

A．，B．，C．，D．，

7．（5分）数列满足，，，则数列前5项和为　　

A．B．C．D．

8．（5分）如图所示，直线为双曲线的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为　　

A．B．C．2D．3

9．（5分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知，且，，则的面积是　　

A．B．C．D．或

10．（5分）已知四面体，，，，，则该四面体外接球的半径为　　

A．1B．C．D．

11．（5分）中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是　　

A．B．C．D．

12．（5分）定义在上的函数满足，（2），则关于的不等式的解集为　　

A．B．，C．D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是　　．

14．（5分）已知向量，，，，则与夹角的余弦值为　　．

15．（5分）实数，满足，目标函数的最大值为　　．

16．（5分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，若为棱上一点，满足，则　　．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答

17．（12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．（12分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

（1）根据以上数据，能否有的把握认为“微信控”与“性别”有关？

（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；

（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率．

参考公式：，其中．

参考数据：

	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

19．（12分）如图，直角梯形与等腰真角三角形所在的平面互相垂直．，，，．

（1）求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

20．（12分）设椭圆的左焦点为，离心率为．为圆的圆心．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．

21．（12分）已知函数，．

（1）求函数的极值；

（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；

（2）曲线与曲线交于，，与曲线交于，，求．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设函数．

（1）解不等式；

（2）当，时，证明：．

2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知，，则等于　　

A．B．

C．D．，，

【考点】：并集及其运算

【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合

【分析】先分别求出集合和，由此能求出．

【解答】解：，

，

．

故选：．

【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．（5分）若复数满足，其中为虚数单位，则　　

A．2B．C．D．3

【考点】：复数的模

【专题】38：对应思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数

【分析】设出复数，利用复数相等的条件求出，的值，然后由复数模的公式计算得答案．

【解答】解：设，

，

，即，解得，，

复数的模为．

故选：．

【点评】本题考查复数相等的充要条件，考查复数的模的求法，是基础题．

3．（5分）“”是“函数为常数）在定义域上是奇函数”的　　

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件

【专题】34：方程思想；：定义法；51：函数的性质及应用；：简易逻辑

【分析】函数为常数）在定义域上是奇函数，则，化为：，解出即可判断出结论．

【解答】解：函数为常数）在定义域上是奇函数，则，

，

化为：，

，

解得，经过验证，此时函数是奇函数．

“”是“函数为常数）在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．

故选：．

【点评】本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．（5分）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围　　

A．B．，，

C．D．，，

【考点】：基本不等式及其应用

【专题】59：不等式的解法及应用

【分析】将不等式有解，转化为求，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于的一元二次不等式的解集即可得到答案．

【解答】解：不等式有解，

，

，，且，

，

当且仅当，即，时取“”，

，

故，即，

解得或，

实数的取值范围是，，．

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．

5．（5分）过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则　　

A．4B．2C．1D．

【考点】：抛物线的性质

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】过作轴于点，中，作斜率为的直线，由且，得，从而求得的横坐标．再由抛物线的焦半径公式可得的值即可．

【解答】解：过作轴于点，过抛物线的焦点作斜率为的直线，

则在中，，，

，

则，

，得．

故选：．

【点评】本题考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．

6．（5分）将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是　　

A．，B．，C．，D．，

【考点】：函数的图象变换

【专题】31：数形结合；35：转化思想；：转化法；57：三角函数的图象与性质

【分析】根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合三角函数的图象进行求解即可．

【解答】解：将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，

然后向左平移个单位长度，得到图象，

即，

，

，，

当时，，函数的最大值为，

要使在上有两个不相等的实根，

则，

即实数的取值范围是，，

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用整体转换法是解决本题的关键．

7．（5分）数列满足，，，则数列前5项和为　　

A．B．C．D．

【考点】：数列的求和

【专题】38：对应思想；：转化法；54：等差数列与等比数列；11：计算题

【分析】根据，可得数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，即可求出，再用裂项求和即可求出．

【解答】解：，

，

，

，

数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了数列的通项公式和递推公式以及裂项求和，考查了运算能力，属于中档题．

8．（5分）如图所示，直线为双曲线的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为　　

A．B．C．2D．3

【考点】：双曲线的性质

【专题】15：综合题；38：对应思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】先求出点的坐标，再根据是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，可得，整理化简即可求出．

【解答】解：直线为双曲线的一条渐近线，则直线为，

，是双曲线的左、右焦点，

，，

关于直线的对称点为，设为，

，，

解得，，

，，

是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，

，

整理可得，

即，

，

故选：．

【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点的对称问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．

9．（5分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知，且，，则的面积是　　

A．B．C．D．或

【考点】：两角和与差的三角函数

【专题】58：解三角形

【分析】依题意，可求得，利用两角差的正弦可求得，又，可求得，即可求得的面积

【解答】解：在中，，

，，

，

即，

整理得：，

，又，

，

解得，

当时，，，解得，

；

故选：．

【点评】本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式的应用，属于中档题

10．（5分）已知四面体，，，，，则该四面体外接球的半径为　　

A．1B．C．D．

【考点】：球的体积和表面积

【专题】11：计算题；：球；35：转化思想；：数学模型法；21：阅读型

【分析】先利用余弦定理求出四面体各棱长，得知和是公共底边的两个等腰三角形，然后取的中点，计算出、的长度，并计算出，然后分别过的外心作，过的外心作交于点，找出球心，并计算出的长度，利用公式即可得出外接球的半径的值．

【解答】解：如下图所示，

取的中点，连接、，

在中，由余弦定理得，同理可得，

由勾股定理得，

为的中点，所以，，，由勾股定理得，同理可得．

，所以，，

由正弦定理得的外接圆直径为，

而的外接圆半径为，

如下图所示，

设的外心为，分别过点、在平面内作、交于点，则为外接球球心，

在中，

则，易求得，

，，，

所以，．

因此，该四面体的外接球的半径为．

故选：．

【点评】本题考查球体半径的计算，解决本题的关键主要在于找出球心的位置，考查计算能力与推理能力，属于中等题．

11．（5分）中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是　　

A．B．C．D．

【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：平面向量及应用

【分析】以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得，

当该直线与直线相交时，取得最大值．

【解答】解：中，，，，

，，，；

以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，

如图所示，

，，，

，，，，

设点为，，，

，

，，，，，

，

，①

直线的方程为，②，

联立①②，得，

此时最大，

．

故选：．

【点评】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，是中档题．

12．（5分）定义在上的函数满足，（2），则关于的不等式的解集为　　

A．B．，C．D．

【考点】：利用导数研究函数的单调性

【专题】：转化法；33：函数思想；52：导数的概念及应用

【分析】根据题意，令，，对其求导分析可得在上为增函数，原不等式可以转化为（2），结合函数的单调性分析可得答案．

【解答】解：根据题意，令，

其导数，

若函数满足，则有，

即在上为增函数，

又由（2），则（2）（2），

（2），

又由在上为增函数，则有；

即不等式的解集为；

故选：．

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数是解题的关键．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是　　．

【考点】：几何概型

【专题】11：计算题；：概率与统计

【分析】解三角不等式，即，即，又，解得：，即：，

由几何概型中的线段型得：（A），故得解

【解答】解：因为，

所以，

即，

又，

解得：，

即：，

设“”为事件，

由几何概型中的线段型可得：

（A），

故答案为：．

【点评】本题考查了解三角不等式及几何概型中的线段型，属中档题．

14．（5分）已知向量，，，，则与夹角的余弦值为　　．

【考点】：平面向量共线（平行）的坐标表示

【专题】：平面向量及应用；34：方程思想；：定义法

【分析】设向量，根据平面向量的坐标运算与共线、垂直和夹角的余弦值，计算即可．

【解答】解：设向量，则，

又，且，，

，

解得，

，；

与夹角的余弦值为：

，．

故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，是基础题．

15．（5分）实数，满足，目标函数的最大值为　　．

【考点】：简单线性规划

【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；：不等式

【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．

【解答】解：实数，满足，如图区域为开放的阴影部分，

由解得，

函数过点时，．

故答案为：．

【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．

16．（5分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，若为棱上一点，满足，则　　．

【考点】：棱锥的结构特征

【专题】31：数形结合；：空间位置关系与距离；41：向量法

【分析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，分别求出与的坐标，由数量积为0求解值即可．

【解答】解：如图，

底面，，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

由，，得，0，，，0，，，2，，，0，，

设，则，

．

．

，

由，得，即．

故答案为：．

【点评】本题考查空间中直线与直线垂直的应用，考查数量积与向量垂直的关系，是中档题．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答

17．（12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【考点】：数列的求和

【专题】54：等差数列与等比数列；38：对应思想；11：计算题；：转化法

【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．

（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

【解答】解：（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为，

则，

解得，，

所以，；

（2）．

数列的前项和，

，

【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

（1）根据以上数据，能否有的把握认为“微信控”与“性别”有关？

（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；

（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率．

参考公式：，其中．

参考数据：

	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

【考点】：独立性检验

【专题】12：应用题；38：对应思想；：数学模型法；：概率与统计

【分析】（1）由列联表求得观测值，对照临界值得出结论；

（2）根据分层抽样原理求出所抽取的对应人数；

（3）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．

【解答】解：（1）由列联表可得

，

所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关；

（2）根据题意知，所抽取的5位女性中，

“微信控”有3人，“非微信控”有2人；

（3）抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为，，；

“非微信控”2人分别记为，；

则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：

，，，，，，，，，，共有10种；

抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：

，，，，，，共有6种，

所求的概率为．

【点评】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．

19．（12分）如图，直角梯形与等腰真角三角形所在的平面互相垂直．，，，．

（1）求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【考点】：平面与平面垂直；：空间中直线与直线之间的位置关系

【专题】49：综合法；14：证明题；31：数形结合；：空间位置关系与距离

【分析】（1）取中点，连结，，推导出，，从而平面，由此能证明．

（2）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面．

（3）连结，交于，推导出，由此能证明平面．

【解答】证明：（1）取中点，连结，，

由等腰直角三角形得：

，，，

四边形是直角梯形，，，

四边形是正方形，，，

平面，．

（2）平面平面，

平面平面，且，

平面，，

，，

平面，平面，

平面平面．

解：（3）存在点，且时，有平面．

连结，交于，

四边形为直角梯形，，

，

又，，

，

平面，平面，

平面．

【点评】本题考查线线垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

20．（12分）设椭圆的左焦点为，离心率为．为圆的圆心．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．

【考点】：椭圆的标准方程；：直线与椭圆的综合

【专题】15：综合题；38：对应思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（Ⅰ）由题意求得，的值即可确定椭圆方程；

（Ⅱ）分类讨论，设直线代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得，根据点到直线的距离公式可求出，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，则，

圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，

所以，又．

所以椭圆的方程为：．

（Ⅱ）可知椭圆右焦点．

（ⅰ）当与轴垂直时，此时不存在，直线，直线，

可得：，，四边形面积12．

（ⅱ）当与轴平行时，此时，直线，直线，

可得：，，四边形面积为．

当与轴不垂直时，设的方程为，，，，．

由得．

则．

所以．

过点且与垂直的直线当与轴不垂直时，

，则圆心到的距离为，

所以

故四边形面积：．

可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为，．

综上，四边形面积的取值范围为，．

【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于难题．

21．（12分）已知函数，．

（1）求函数的极值；

（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．

【考点】：函数恒成立问题；：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究函数的极值；：不等式恒成立的问题

【专题】11：计算题；32：分类讨论；33：函数思想；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用

【分析】（1）化简函数的解析式，利用函数的导数，通过与0以及1的大小，判断导函数的单调性求解函数的极值；

（2）设，，设，则，，，，利用函数的单调性，通过①当时，②当时，③当时，判断函数的单调性转化求解的取值范围．

【解答】解：（1），，

的定义域为，

①，即时，在上递减，

在上递增，，无极大值；

②，即时，在和上递增，在上递减，，（1）；

③，即时，在上递增，没有极值；

④，即时，在和上递增，在上递减，

（1），．

综上可知：时，，无极大值；

时，，

（1）；时，没有极值；

时，（1），．

（2）设，，

设，则，，，，

在，上递增，的值域为，

①当时，，为，上的增函数，

，适合条件；

②当时，，不适合条件；

③当时，对于，，

令，，

存在，使得时，，

在上单调递减，，

即在时，，不适合条件．

综上，的取值范围为．

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分类讨论思想的应用，难度比较大．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；

（2）曲线与曲线交于，，与曲线交于，，求．

【考点】：简单曲线的极坐标方程；：参数方程化成普通方程

【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：坐标系和参数方程

【分析】（1）曲线的参数方程消去参数得曲线的普通方程，由，，能求出曲线的极坐标方程．

（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，由此能求出．

【解答】解：（1）曲线的参数方程为为参数），

消去参数得曲线的普通方程为，即，

由，，得曲线的极坐标方程为．

（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，

则，，

．

【点评】本题考查直线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设函数．

（1）解不等式；

（2）当，时，证明：．

【考点】：绝对值三角不等式；：绝对值不等式的解法

【专题】38：对应思想；：转化法；59：不等式的解法及应用

【分析】（Ⅰ）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；

由分段函数可得的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证．

【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：，

由时，成立；时，，即有，则为．

故的解集为．（5分）

由（Ⅰ）知，；

，

．（10分）

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．

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日期：2019/4/12 22:14:12；用户：tp；邮箱：lsgjgz137@xyh.com；学号：21474120