2006年高考理科数学试题（湖南卷）.doc

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

数学试卷(理工农医类)

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
   一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
   1. 函数的定义域是
      A．B．C．D．
   2. 若数列满足:, 且对任意正整数都有, 则
      
      A．B．C．D．
   3. 过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有
      A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
   4. “”是“函数在区间上为增函数”的
      A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
   5. 已知且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是
      A．B．C．D．
   6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有
      A． 16种 B．36种 C．42种 D．60种
   7. 过双曲线的左顶点作斜率为1的直线, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 且, 则双曲线的离心率是
      A．B．C．D．
   8. 设函数, 集合, 若,
      则实数的取值范围是
      A．B．C．D．
   9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,
      则图中三角形(正四面体的截面)的面积是
      A．B．C．D．
   10. 若圆上至少有三个不同的点到直线的
       距离为,则直线的倾斜角的取值范围是
       A．B．C．D．
       注意事项：
       请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。
       二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
   11. 若的展开式中的系数是, 则实数的值是__________.
   12. 已知则的最小值是_____________.
   13. 曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是
       ___________.
   14. 若是偶函数, 则有序实数对可以
       是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)
   15. 如图2,, 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内
       (不含边界)运动, 且,则的取值范围是__________; 当时,的取值范围是__________.
       
       三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
   16. （本小题满分12分）

如图3,是直角斜边上一点,.

(Ⅰ)证明:; (Ⅱ)若,求的值.

17. （本小题满分12分）

某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是, 整改后安检合格的概率是,

计算(结果精确到);

(Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率;

(Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改;

(Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 .

18. （本小题满分14分）

如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2,

(Ⅰ) 证明: ; (Ⅱ) 求异面直线所成的角;

(Ⅲ) 求点到平面的距离.

19．（本小题满分14分）

已知函数, 数列满足:,

证明 (Ⅰ) ; (Ⅱ) .

20．（本小题满分14分）

对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:

为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,

其中是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

21．（本小题满分14分）

已知椭圆, 抛物线, 且的公共弦

过椭圆的右焦点 .

(Ⅰ) 当, 求的值, 并判断抛物线的焦点是否在直线上;

(Ⅱ) 是否存在的值, 使抛物线的焦点恰在直线上? 若存在, 求出符合条件的的值; 若不存在, 请说明理由 .