2006年高考文科数学试题及答案（湖南卷）.doc

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2006年高考文科数学试卷（湖南卷）

本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分.

参考公式:

如果事件、互斥，那么

如果事件、相互独立，那么

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是

球的体积公式,球的表面积公式，其中表示球的半径

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．函数的定义域是

　 A．(0,1］　　　　　B. (0,+∞)　　　　C. (1,+∞)　　　　D. ［1,+∞)

2．已知向量若时，∥；时，，则

　 A．　　　　　 B. 　　　

C.　　 D.

3. 若的展开式中的系数是80，则实数a的值是

　 A．-2　　　　 　B. 　　 　　C. 　　　　D. 2

4．过半径为12的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是

A．π　　　　　　　 B. 2π　　　　 C.　3π　　 　　D.

5．“a=1”是“函数在区间［1，＋∞）上为增函数”的

　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　 B. 必要不充分条件

　 C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　 D. 既不充分也不必要条件

6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是

A．6 　　　　B. 12 　　　　C. 18　　　 D. 24

7．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

A．36 　　　 B. 18 　　　　 C. 　　　 D.

8．设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是

A．2π　　　　B.π　　　　C.　　　 D.

9．过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且，则双曲线M的离心率是

A． 　　　 B. 　　 C. 　　　 D.

10. 如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是

A．　　　　　B.

C.D.

二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部　对应题号的横上.

11. 若数列满足：，2，3….则　　　　　　.

12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是　　　　　分.

13. 已知则的最小值是　　　　　.

14. 过三棱柱 ABC－A₁B₁C₁的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB₁A₁平行的直线共有　　　　　条.

15. 若是偶函数，则a= .

三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分１２分）

已知求θ的值.

17.（本小题满分１２分）

某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：

(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率；

(Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率；

(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.

18.（本小题满分１4分）

如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与

Q-ABCD的高都是2，AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

19.（本小题满分14分）

已知函数.

（Ｉ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

20.（本小题满分14分）

在m（m≥2）个不同数的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m时P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a_n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.

（Ⅰ）求a₄、a₅，并写出a_n的表达式；

（Ⅱ）令，证明，n=1,2,….

21.（本小题满分14分）

已知椭圆C₁：，抛物线C₂：，且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

（Ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

　（Ⅱ）若且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

1－10：DCDAABCBCDC

11., 12. 85, 13. 5,14.6,15.-3.

16. 解　由已知条件得.

即.

解得.

由0＜θ＜π知，从而.

17. 解　（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.

（Ⅱ）解法一　某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而煤矿不被关闭的概率是0.90.

解法二　某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.

所以该煤矿不被关闭的概率是.

(Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是.

18. 解法一　（Ⅰ）连结AC、BD，设.

由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.

所以

于是.

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，

，设是平面QAD的一个法向量，由

得.

取x=1，得.

所以点P到平面QAD的距离.

解法二　（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.

因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，

所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.

同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.

因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC.

从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.

因为，

所以.

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ)连结OM，则.

所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.

由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.

在直角△PMO中，.

即点P到平面QAD的距离是.

19. 解　（Ⅰ）由题设知.

令.

当（i）a>0时，

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

（i i）当a＜0时，

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.

因为线段AB与x轴有公共点，所以.

即.所以.

故.

解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.

即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].

20. 解　（Ⅰ）由已知得，

　　.

（Ⅱ）因为，

　　　　　所以.

又因为，

　　　　　所以

　　　　　　　　　　　　　 =.

综上，.

21. 解　（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为

x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.

因为点A在抛物线上，所以，即.

此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.

（Ⅱ）解法一　当C₂的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.

由消去y得. ……①

设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

则x₁,x₂是方程①的两根，x₁＋x₂＝.

因为AB既是过C₁的右焦点的弦，又是过C₂的焦点的弦，

所以，且

.

从而.

所以，即.

解得.

因为C₂的焦点在直线上，所以.

即.

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的方程为.

解法二　当C₂的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程

为.

由消去y得. 　　　　　　　 ……①

因为C₂的焦点在直线上，

所以，即.代入①有.

即. ……②

设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

则x₁,x₂是方程②的两根，x₁＋x₂＝.

由消去y得. 　　……③

由于x₁,x₂也是方程③的两根，所以x₁＋x₂＝.

从而＝. 解得.

因为C₂的焦点在直线上，所以.

即.

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的方程为.

解法三　设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

因为AB既过C₁的右焦点，又是过C₂的焦点，

所以.

即. ……①

由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率，　　 ……②

且直线AB的方程是,

所以. ……③

又因为，所以. ……④

将①、②、③代入④得，即.

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的方程为.