2006年高考文科数学试题及答案（全国卷2）.doc

2006年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（全国卷Ⅰ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式

如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

一．选择题

（1）已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且ab=2，则a与b的夹角为

（A）（B）（C）（D）

（2）设集合M={x|x²-x<0},N={x||x|<2},则

（A）M（B）M

（C）（D）

（3）已知函数y=e^x的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则

（A）f(2x)=e^2x(x（B）f(2x)=ln2lnx(x>0（C）f(2x)=2e^2x(x（D）f(2x)= lnx+ln2(x>0

（4）双曲线mx²+y²=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=

（A）-（B）-4 (C)4（D）

（5）设S_n是等差数列{a_n}的前n项和,若S₇=35,则a₄=

（A）8（B）7（C）6（D）5

（6）函数f(x)=tan(x+)的单调递增区间为

（A）(k-, k+),k（B）(k, (k+1)),k

(C) (k-, k+),k（D）(k-, k+),k

（7）从圆x²-2x+y²-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为

（A）（B）（C）（D）0

（8）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c，且c=2a，则cosB=

（A）（B）（C）（D）

（9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是

（A）16（B）20（C）24（D）32

（10）在（x-）¹⁰的展开式中，x⁴的系数为

（A）-120（B）120（C）-15（D）15

（11）抛物线y=-x²上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是

（A）（B）（C）（D）3

（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为

（A）8cm²（B）6cm²（C）3cm²（D）20cm²第Ⅱ卷

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

3．本卷共10小题，共90分。

二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数，则a = 。

（14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于 。

（15）设z=2y-x,式中x、y满足下列条件

则z的最大值为__________

(16)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答)

三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本大题满分12分）

已知{a_n}为等差数列,a₃=2,a₂+a₄=,求{a_n}的通项公式.

（18）（本大题满分12分）

ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos取得最大值,并求出这个最大值

（19）（本大题满分12分）

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一组试验中，服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用A有郊的概率为，服用B有郊的概率为.

（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率;

（Ⅱ）观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.

（20）（本大题满分12分）

如图,l_1、l₂是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN

（I）证明ACNB

（II）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值

（21）（本大题满分12分）

设P为椭圆(a>1)短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值

（22）（本大题满分14分）

设a为实数,函数f(x)=x³-ax²+(a²-1)x在(-,0)和(1,)都是增函数,求a的最值范围

2005全国卷I（河北、河南、安徽、山西）

文科数学参考答案

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D

7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13．155 14. 70 15.100 16. ①③④

三．解答题

（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分12分。

解：（I）

∵x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，

∴sin(2×+)=±1，

∴+=kπ+，k∈Z.

∵-π<<0,

∴=-.

（II）由（I）知=-，因此

y=sin(2x-).

由题意得

2kπ-≤2x-≤2kπ+, k∈Z.

所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为

[kπ+,kπ+], k∈Z.

(III)由y=sin(2x-)知

x	0					π
y	-	-1	0	1	0	-

故函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像是

（18）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分12分。

方法一：

（I）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理得：CD⊥PD.

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥PCD.

（II）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角.

连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四边形ACBE为正方形.

由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°，

在Rt△PEB中BE=，PB=，

cos∠PBE=

∴AC与PB所成的角为arccos.

(III)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC，

∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角。

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=.

∴AN=.

∵AB=2，

∴cos∠ANB=

故所求的二面角为arccos(-).

方法二：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).

1. 证明：因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP⊥DC.
   又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD。
   又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.
   （II）解：因=(1,1,0),=(0,2,-1),
   故||=，||=，·=2，所以
   cos<·>==
   由此得AC与PB所成的角为arccos
   （III）解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R，使
   =λ，
   =(1-x,1-y,-z),=(1,0,-),
   ∴x=1-λ,y=1,z=λ.
   要使AN⊥MC只需·=0,即
   x-z=0,解得λ=.
   可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使·=0.
   此时,=(,1,),=(,-1,),有·=0.
   由·=0,·=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.
   ∵||=,||=,·=-.
   ∴cos<,>=
   故所求的二面角为arccos(-).
   (19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分。
   解：（I）∵f(x)+2x>0的解集为（1，3），
   ∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.因而
   f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(2+4a)x+3a. ①
   由方程f(x)+6a=0得
   ax²-(2+4a)x+9a=0. ②
   因为方程②有两个相等的根，所以△=[-(2+4a)]²-4a·9a=0,
   即 5a²-4a-1=0.
   解得 a=1或a=-.
   由于a<0，舍去a=1.将a=-代入①得f(x)的解析式
   f(x)=-x²-x-.
2. 由

f(x)=ax²-2(1+2a)x+3a

=a(x-)²-

及a<0，可得f(x)的最大值为-.

由

解得 a<-2-或-2+

故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是

(-∞，-2-)∪(-2+,0).

（20）本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分。

（I）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)³=,所以甲坑不需要补种的概率为

1-==0.875.

（II）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为

×()²=0.041.

（III）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为()³,

所以有坑需要补种的概率为

1-()³=0.330.

解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为

××()²=0.287,

恰有2个坑需要补种的概率为

×()²×=0.041.

3个坑都需要补种的概率为

×()³×()⁰=0.002.

所以有坑需要补种的概率为

0.287+0.041+0.002=0.330.

（21）本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力.满分12分。

解：（I）由2¹⁰S₃₀-(2¹⁰+1)S₂₀+S₁₀=0得

2¹⁰(S₃₀-S₂₀)=S₂₀-S₁₀，

即 2¹⁰(a₂₁+a₂₂+…+a₃₀)=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀,

可得 2¹⁰·q¹⁰(a₁₁+a₁₂+…+a₂₀)=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀.

因为a_n>0，所以

2¹⁰q¹⁰=1,

解得q=,因而

a_n=a₁q^n-1=,n=1,2,….

(II)因为{a_n}是首项a₁=、公比q=的等比数列，故

S_n==1-，nS_n=n-.

则数列{nS_n}的前n项和

T_n=(1+2+…+n)-(++…+)，

(1+2+…+n)-(++…+).

前两式相减，得

(1+2+…+n)-(++…+)+

=-+,

即 T_n=

（22）本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分14分.

（I）解：设椭圆方程为=1(a>b>0),F(c,0).

则直线AB的方程为y=x-c,

代入=1，化简得

(a²+b²)x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0.

令A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则 x₁+x₂=,x₁x₂=.

由=(x₁+x₂,y₁+y₂),a=(3,-1),与a共线，得

3(y₁+y₂)+(x₁+x₂)=0.

又 y₁=x₁-c,y₂=x₂-c,

∴ 3(x₁+x₂-2c)+(x₁+x₂)=0,

∴ x₁+x₂=

即,所以a²=3b².

∴ c=,

故离心率e=.

（II）证明：由（I）知a²=3b²,所以椭圆=1可化为

x²+3y²=3b².

设=(x,y),由已知得

(x,y)=λ(x₁,y₁)+μ(x₂,y₂),

x=λx₁+μx₂,

∴

y=λy₁+μy₂.

∵M(x,y)在椭圆上，

∴(λx₁+μx₂)²+3(λy₁+μy₂)²=3b².

即λ²(+3)+μ²(+3)+2λμ(x₁x₂+3y₁y₂)=3b², ①

由（I）知x₁+x₂=c,a²=c²,b²=c².

∴x₁x₂=c².

∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3(x₁-c)(x₂-c)

=4x₁x₂-3(x₁+x₂)c+3c²

=c²-c²+3c²

=0.

又=3b²,=3b²,代入①得

λ²+μ²=1.

故λ²+μ²为定值，定值为1.