2006年高考文科数学试题及答案（安徽卷）.doc

2006年普通高等学校招生全国统一考试试卷

文科数学试题及答案（安徽卷）

参考公式：

如果时间A、B互斥，那么

如果时间A、B相互独立，那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

球的表面积公式，其中R表示球的半径

球的体积公式，其中R表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集，集合，，则等于（ ）

A．B．C．D．

解：，则＝，故选B

（2）不等式的解集是（ ）

A．B．C．D．

解：由得：，即，故选D。

（3）函数的反函数是（　　　）

A．B．

C．D．

解：由得：，所以为所求，故选D。

（4）“”是“的（　　　）

A．必要不充分条件 　　B．充分不必要条件

C．充分必要条件 　　　　 D．既不充分也不必要条件

解：条件集是结论集的子集，所以选B。

（5）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）

A．B．C．D．

解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D。

（6）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A．B．C．D．

解：此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。

（7）直线与圆没有公共点，则的取值范围是

A．　 B．　 C．D．

解：由圆的圆心到直线大于，且，选A。

（8）对于函数，下列结论正确的是（ ）

A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值

C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值

解：令，则函数的值域为函数的值域，而是一个减函减，故选B。

（9）将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）

A．B．

C．D．

解：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以，因此选C。

（10）如果实数满足条件，那么的最大值为（ ）

A．B．C．D．

解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B。

（11）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）

A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形

C．是钝角三角形，是锐角三角形

D．是锐角三角形，是钝角三角形

解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，，所以是钝角三角形。故选D。

（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）

A．B．C．D．

解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选C。

2006年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（安徽卷）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。

（13）设常数，展开式中的系数为，则＝_____。

解：，由。

（14）在中，，M为BC的中点，则_______。（用表示）

解：，，所以。

（15）函数对于任意实数满足条件，若则__________。

解：由得，所以，则。

（16）平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：

①1； ②2； ③3； ④4；

以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）

解：如图，B、D到平面的距离为1、2，则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；

B、C到平面的距离为1、2，D到平面的距离为，则，即，所以D到平面的距离为1；

C、D到平面的距离为1、2，同理可得B到平面的距离为1；所以选①③。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（17）（本大题满分12分）已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值。

解：(Ⅰ)由，得，所以＝。

（Ⅱ）∵，∴。

（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；

（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；

解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B

（Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2种：、，故。

（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：；芳香度之和等于2的取法有1种：，故。

（19）（本大题满分12分）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

（Ⅰ）证明⊥；

（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。

解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，

∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。

（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴，，。

过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以为所求二面角平面角。

在中，OH=，=。

在中，；

而

（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，∴，，

设平面PAB的法向量为，则，，得，；

设平面PDB的法向量为，则，，得，；

（20）（本大题满分12分）设函数，已知是奇函数。

（Ⅰ）求、的值。

（Ⅱ）求的单调区间与极值。

证明（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，

和是函数是单调递增区间；

是函数是单调递减区间；

在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。

（21）（本大题满分12分）在等差数列中，，前项和满足条件，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和。

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以。

（Ⅱ）由，得。所以，

当时，；

当时，

，

即。

（22）（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；

（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。

解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。

（Ⅱ）当时，，，，双曲线为，设P，则，，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，

又，由得：，解得，则，所以为所求。