辽宁省沈阳二中2016届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试卷

沈阳二中2015-2016学年度下学期第四次模拟考试

高三（16届）数学理科试题

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数满足，则的虚部为( )
   1. B. C. 4 D.
2. 已知集合，，则（ ）
   1. B.C.D.
3. 已知向量，满足，在方向上的投影是，则( )
   1. B. 2 C. 0 D.
4. 命题“若，则”的否命题为( )
   A．若，则且B．若，则或
   C．若，则且D．若，则或
5. 已知，则下列不等式一定成立的是( )
   1. B.C.D.
6. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )
   1. 30尺 B. 90尺 C. 150尺 D. 180尺
      7.已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为( )
      1. B.C.D.

8．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是( )

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则D．若，则

9. 设函数的图像在点处切线的斜率为,则函数的图像为

A B C D

10. 用随机模拟的方法估计圆周率π的近似值的程序框图如右图

所示，P表示输出的结果，则图中空白处应填( )

A.B.

C.D.

（第10题图）

，则使得的实数的取值范围是( )

A.B.C.D.

12．定义在上的函数，是它的导函数,恒有成立，则( )

A．B．

C．D．

第Ⅱ卷 （90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13. 已知的展开式中所有项的系数和为，则.

14. 正方体的棱长为，、分别是棱和的中点，则点到平面的距离为 .

1. 以下命题正确的是 ．

1. 函数的图象向右平移个单位，可得到的图象；

② 函数的最小值为；

③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；

④ 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，）（）．若ξ在内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．

16. 已知数列的前项和为且成等比数列，成等差数列，则等于 .

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分） 设的内角所对的边分别为，已知，.

（Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求的面积.

18. （本小题满分12分） 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位（单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响.

（Ⅰ）求未来三年，至多有年河流水位的概率（结果用分数表示）；

（Ⅱ）该河流对沿河企业影响如下：当时，不会造成影响；当时，损失元；当时，损失元，为减少损失，现有三种应对方案：

方案一：防御米的最高水位，需要工程费用元；

方案二：防御不超过米的水位，需要工程费用元；

方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并说理由.

19. (本小题满分12分) 已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．

（Ⅰ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；

（Ⅱ）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

20. （本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，若与圆E：相交于M,N两点，且圆E在内的弧长为.

（I）求的值；

（II）过的中心作两条直线AC，BD交于A,C和B,D四点，设直线AC的斜率为，BD的斜率为，且.（1）求直线的斜率；（2）求四边形ABCD面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）定义在R上的函数满足，为常数，函数，若函数在处的切线与y轴垂直.

（I）求函数的解析式； （II）求函数的单调区间；

（III）若满足恒成立，则称s比t更靠近r.在函数有极值的前提下，当时，比更靠近，试求b的取值范围.

请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分

22．（选修4—1；几何证明选讲 本小题满分10分） 如图过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B、C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，

（Ⅰ）求AF的长； （Ⅱ）求证：

23．（选修4-4；坐标系与参数方程选讲 本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）

（Ⅰ）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求的值.

24．（选修4—5；不等式选讲 本小题满分10分）设函数．

（Ⅰ）解不等式：； （Ⅱ）若对一切实数均成立，求的取值范围．

沈阳二中2015-2016学年度下学期第四次模拟考试

高三（16届）数学理科试题参考答案

（1）～（5）DBBDD (6)～（10）BCCBA (11)～（12）BB

（13）（14） （15）①③④ (16）-1009

（17）解：（Ⅰ）……………2分

………………………………5分

，…………………………………………………………6分

（Ⅱ）由，，，得…………………………7分

由得，从而， ………………………………………9分

故…………………10分

所以的面积为. ……………………………12分

（18）

（19） 解：(Ⅰ) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE. 证明如下：

由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2. ………………………1分

连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC. …………………………2分

∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC.……………………3分

又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.…………………………………………………4分

∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.………5分

(Ⅱ) 解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.………6分

∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角……………………………9分．
Rt△ADE中，DF＝＝, ∴BF＝.BD＝，△DFB中余弦定理得cos∠DFB＝，∴∠DFB＝，即二面角D－AE－B的大小为.……………………………12分

解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．………………………………………………………………………6分

D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，从而＝(0,1,0)，

＝(－1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)． 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为，由，取由，取…………………………10分

设二面角D－AE－B的平面角为θ，则，…………11分

∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为…………………………………………12分(20)

，且，所以………………………………………12分

（22）解：（Ⅰ）延长交圆于点，连接，则，，，所以，根据切割线定理得：，所以.…………5分

（Ⅱ）过作于，则△∽△,从而有,,所以，因此，即. ……………10分

(23)解：（Ⅰ）由得，直线是过原点且倾斜角为的直线.故直线的极坐标方程为……………………………………3分

由得…………………………………5分

24． 解：（Ⅰ）当时,,得,]所以成立. 当时，,得，所以成立. 当时,,得,所以成立.

综上，原不等式的解集为………………………………………5分

（Ⅱ）

当所以………………………………………10分