陕西师大附中2017届高三下学期模拟（七）数学（理）试卷

陕西师大附中2017届高考数学模拟试题（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.已知集合，则( )

．．．．

2.已知复数满足，则复数的共轭复数为( )

．．．．

3.命题“”的否定是( )

4.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

5.已知的展开式中( )

6.执行如图所示的程序框图，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值的个数是( )

7.已知非零向量满足，且，则向量的夹角为( )

8.已知函数的一个对称中心是，且，要得到函数的图像，可将函数的图像( )

向左平移个单位长度向左平移个单位长度

向右平移个单位长度向右平移个单位长度

9.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )

10.已知数列、满足，其中是等差数列，且，则( )

11.设函数，若对于在定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”。若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是 ( )

12.已知函数，若不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是( )

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设为椭圆的焦点，过在的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为______.

14.若目标函数在约束条件下仅在点处取得最小值，则实数的取值范围______.

15.若函数,,则不等式的解集是______.

16.在中，的对边分别为,且满足,则面积的最大值为______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）已知函数.

1. 求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
2. 若，，求的值.

18.（本小题满分12分）如图三棱锥中，侧面为菱形，.

1. 证明：；
2. 若，，，

求二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）从某校高三的学生中随机抽取了名学生，统计了某次数学模考考试成绩如下表：

（1）请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作出

这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这名学生的平均成绩；

（2）从这名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中名同学代表高三年级到外校交流，记这名学生中“期中考试成绩低于分”的人数为，求的分布列和数学期望.

20.（本小题满分12分）设直线过抛物线的焦点且与抛物线分别相交于两点，已知,直线的倾斜角满足。

（1）求抛物线的方程；

（2）设是直线上的任一点，过作的两条切线，切点分别为，试证明直线过定点，并求该定点的坐标。

21.（本小题满分12分）设为实数，函数，.

（1）求的单调区间与极值；

（2）当时，求证：是的充分不必要条件.

选做题（请考生在第22、23题中任选一题做答,做答时请写清题号.）

22.坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在极坐标系中，曲线的极坐标方程为和点

（1）若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，，且长度单位相同，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点为曲线上一动点，矩形以为其对角线，且矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标。资*源%库

23.不等式选讲(本小题满分分)

设函数的最大值为.

1. 求实数的值；
2. 求关于的不等式的解集.

陕西师大附中2017届高考数学模拟试题参考答案

一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分.）

二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分.）

....

三、解答题（共5小题，计60分.）

. (本题满分12分)

解：(1)=

函数数的最小正周期为

又

函数在区间上的最大值为，最小值为

(2)

又，

.

. (本题满分12分)

解：（1）连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点，又，所以平面.由于平面，故.又，.

（2）因为，且为的中点，所以

又因为，所以，故，从而，，两两相互垂直.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以为等边三角形.又，则，，，.资*源%库

，，.

设是平面的法向量，则即，令，则.设是平面的法向量，则同理可取得.则，所以二面角的余弦值为.

. (本题满分12分)

解;(1)

平均成绩为分

(2)因为采用分层抽样，所以人中，成绩低于分的人数为5人，不

低于分的人数为人，既的所有可能取值为，由于

. (本题满分12分)

解：（1）抛物线的方程为：。(利用焦点弦长公式或韦达定理均可)

（2）设是直线上任意一点，过作抛物线的切线分别为，切点分别为，则的方程为：①

的方程为：②

因为都过点，所以有， ③

④

③和④表示两点均在直线，

即直线的方程为：，又，所以：，

所以直线的方程可化为：，即直线恒过点。

(注：有关切线方程学生其他方法亦正确 予以给分，如导数的方法等)

21. (本题满分12分)

解：（1），令得.当变化时，及的变化如下：

	-	0	+
	单调递减↘	极小值	单调递增↗

所以的递减区间为，递增区间为；极小值为.

（2）当时，恒成立，

令，则，

∵，易知.令，则.

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以，从而.

现在只需证明，即证明，

令，，由得，经讨论知. 所以，证毕.

四、选做题（请考生在第22、23题中任选一题做答,做答时请写清题号。）

22.坐标系与参数方程（本小题满分10分）

解：(1)由代入到曲线的极坐标方程中有：，即为曲线的普通方程。

（2）设，则，则

所以，当时

所以矩形周长的最小值为4，此时点的坐标为。

23.选修4—5：不等式选讲(本小题满分分)

解:（1）

当且仅当时等号成立。故函数的最大值

（2）由绝对值不等式可得：，

所以不等式的解即为方程的解。

的解集为。（或写成亦可）