陕西省榆林市2018届高三第四次模拟考试数学文

榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷

高三数学（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（ ）

A．B．C．D．

2．已知复数，，则（ ）

A．B．C．D．

3．已知上的奇函数满足：当时，，则（ ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

4．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）

A．12 B．15 C．20 D．21

5．已知等差数列中，，，则（ ）

A．1 B．3 C．5 D．7

6．已知实数满足，则的最小值为（ ）

A．-13 B．-11 C．-9 D．10

7．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ）

A．B．C．D．

8．某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．

9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数被3除余2，被7除余4，被8除余5，求的最小值.执行该程序框图，则输出的（ ）

A．50 B．53 C．59 D．62

10．设函数，则不等式成立的的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

11．如图，在正方体中，分别为的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是（ ）

A． B．2 C．D．

12．已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，的面积为，则双曲线的方程为（ ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知向量，，若，则．

14．已知函数，在区间上任取一个实数，则的概率为 ．

15．已知等比数列的前项和为，且，则．

16．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，射线分别交抛物线于异于点的点，若三点共线，则．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17． 在中，分别是内角的对边，已知.

（1）求的大小；

（2）若，，求的面积.

18． 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据（单位：小时）.又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.

（1）将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为，，…，，，完成下图的频率分布直方图；

（2）以（1）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；

（3）以（1）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人.请完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.

附：（）.

19． 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，是上一点，且，.

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为3，求四棱锥的体积.

20． 已知椭圆的焦距为，且，圆与轴交于点为椭圆上的动点，，面积最大值为.

（1）求圆与椭圆的方程；

（2）设圆的切线交椭圆于点，求的取值范围.

21． 已知函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）若，，求正数的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求圆的参数方程；

（2）设为圆上一动点，，若点到直线的距离为，求的大小.

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若恰好存在4个不同的整数，使得，求的取值范围.

榆林市2017~2018年第四次模拟考试试卷

高三数学参考答案（文科）

一、选择题

1-5:DBCAD 6-10:BAABC 11、12：CD

二、填空题

13．14．15．16．2

三、解答题

17．解：（1）因为，

所以，即.

又，

所以.

（2）因为，，

所以.

由，可得.

又，

所以.

18．解：（1）由题意知样本容量为20，频率分布表如下：

频率分布直方图为：

（2）因为（1）中的频率为，

所以1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率为.

（3）因为（1）中的频率为，故可估计100位女生中累计观看时间小于20小时的人数是.

所以累计观看时间与性别列联表如下：

结合列联表可算得

，

所以，有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.

19．（1）证明：连接交于，连接，

∵，∴，

又，∴，∴.

∵平面，平面，∴平面.

（2）解：∵，，∴.

又平面，∴.

∵，∴平面.

∴.

∴.

20．解：（1）因为，所以.①

因为，所以点为椭圆的焦点，所以，.

设，则，所以，

当时，，②

由①，②解得，所以，，

所以圆的方程为，椭圆的方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为，解得，，.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.

因为直线与圆相切，所以，即，

联立，消去可得，

，，.

.

令，则，所以，，

所以，所以.

综上，的取值范围是.

21．解：（1），

当时，，在上单调递减.

当时，若，；若，.

∴在上单调递减，在上单调递增.

当时，，在上单调递减.

当时，若，；若，.

∴在上单调递减，在上单调递增.

综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）∵，∴当时，；当时，.

∴.

∵，，∴，即.

设，，

当时，；当时，.

∴，

∴.

22．解：（1）∵，∴，∴，

即，∴圆的参数方程为（为参数）.

（2）由（1）可设，，

的直角坐标方程为，

则到直线的距离为

，

∴，∵，∴或，

故或.

23．解：（1）由，得，

不等式两边同时平方得，，

即，解得或.

所以不等式的解集为.

（2）设，

作出的图象，如图所示，

因为，，

又恰好存在4个不同的整数，使得，

所以即，

故的取值范围为.