山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学（理）试题.docx

高三校际联合考试

理科数学

2019.05

本试卷共6页，满分150分。

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式：锥体体积，(S为锥体底面面积，h为锥体高)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则

A．B．C．D．

2．将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是

A．B．

C．D．

3．若函数

A．B．C．D．0

4．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：

①若；②若；

③若；④若.

其中正确的是

A．①②B．②③C．①④D．③④

5．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为，则①中应填

A．B．C．D．

6．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．

根据该走势图，下列结论正确的是

A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化

B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱。

C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差

D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值

7．过点P(1，1)的直线将圆形区域分为两部分，其面积分别为，当最大时，直线的方程是

A．B．C．D．

8．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数；②所有位的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是

A．540B．480C．360D．200

9．倾斜角为30°的直线经过双曲线的左焦点F₁，交双曲线于A，B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点E，则此双曲线的渐近线方程为

A．B．C．D．

10．已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，，若四面体ABCD外接球的球心O恰好在侧棱DA上，，则四面体ABCD的体积为

A．B．C．D．

11．已知数列前n项和为，满(为常数)，且，设函数，则数列的前17项和为

A．B．C．11D．17

12．设函数，若函数有三个零点，则

A．12B．11C．6D．3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设复数(i为虚数单位)，则z的虚部是___________．

14．设向量，则向量与向量a的夹角为___________．

15．抛物线图象在第一象限内一点处的切线与轴交点的横坐标记为，其中i∈N^*，若，则__________．

16．若函数(e为自然对数的底数)在两处取得极值，且，则实数m的取值范围是__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题。每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．(12分)

如图，在中，M是AC的中点，．

1. 若，求AB的长；
2. 若的面积．

18．(12分)

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，BF//DE，DE=2BF=．

1. 证明：平面平面BDEF；
2. 求二面角E—AC—F的余弦值．

19．(12分)

如图，已知椭圆，是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且．

1. 求椭圆E的方程。
2. 过椭圆E右焦点F的直线，交椭圆E于两点，交直线于点M．判定直线的斜率是否依次构成等差数列?请说明理由．

20．(12分)

为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个

零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．

1. 为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的频率)：
   ①；②；
   ③．
   评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备性能等级为甲；仅满足其中两个，则设备性能等级为乙；若仅满足其中一个，则设备性能等级为丙；若全部不满足，则设备性能等级为丁．试判断设备M的性能等级．
2. 将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．

1. 从设备M的生产流水线上任意抽取2个零件，计算其中次品个数Y的数学期望； (ii)从样本中任意抽取2个零件，计算其中次品个数Z的数学期望E(Z)．

21．(12分)

已知函数(e为自然对数的底数)．

1. 求函数的值域；
2. 若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围；
3. 证明：.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．(10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程是(t为参数)，曲线C的参数方程是(为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

1. 求直线和曲线C的极坐标方程；
2. 已知射线与曲线C交于O，M两点，射线与直线交于N点，若△OMN的面积为1，求的值和弦长.

23．(10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数．

1. 若的取值范围；
2. 若，不等式恒成立，求的取值范围。

绝密★启用前 试卷类型：A

高三校际联合考试

理科数学答案 2019.05

1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-5 BCBBB 6-10 DADAC 11-12 DB

1.答案 B

解析：由且，∴,故选B.

2.答案 C

解析：由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，

可得，故选C．

3.答案 B

解析：由题意得，因此，故选B.

4.答案B

解析:　两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确.故选B

5.答案B

解析:　由题意知，该程序框图的功能是计算，

当时，；当时，，跳出循环，故①中应填，故选B.

6.答案D

解析：选项A错，并无周期变化；选项B错，并不是不断减弱，中间有增强；选项C错，月的波动大于月份，所以方差要大；选项D对，由图可知，月起到月份有下降的趋势，所以会比月份大.故选D.

1. 答案 A

解析：当圆心与的连线和过点的直线垂直时，符合条件.圆心与点连线的斜率，所以直线的方程为.故选A.

8.答案 D

解析：由题意知，这个三位数的百位一定是奇数，其所有取法有种；其个位数字与十位数字是一奇一偶，其所有取法种数有种，由分步计数原理可知，这样的三位数共有个，故选.D

9.答案 A

解析：如图为的垂直平分线，可得，

且，可得，，由双曲线的定义可得，，

即有，

即有，

由，可得，

可得，即，，则渐近线方程为，故选A．

10.答案 C

解析：由可知，取的中点，则点为外接圆的圆心，所以平面，且为的中位线，所以平面故三棱锥的体积为.故选C.

11.答案 D

解析：,

由，得，为等差数列，+=,

+=+

=+=

数列的前项和为=.故选D.

12.答案B

解析：作出函数的图象如图所示，由图可得关于的方程的解有两个或三个(时有三个，时有两个)，所以关于的方程只能有一个根(若有两个根，则关于的方程有四个或五个根)，由，可得的值分别为，.故选B

1. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.14.(或) 15. 16.

13.答案

解析：.

14.答案(或)

解析：，，.

15.答案

解析：，，在第一象限内图象上

一点，处的切线方程是：，整理，得，

切线与轴交点的横坐标为，，是首项为，公比的等比数列，．

16.答案

解析：

方法1：，，，直线，曲线，

，

A（，），B（，），

，，

构造，，在（0,1）递减，

.

方法2：

由题知有两个不等的实数根，且，

令，则，

易知在，上为减函数；在上为增函数.

当时，由，得，此时；

当时,

综上.

三、解答题：

17.解:(1), …………………………2分

在中，由正弦定理得,

. …………………………6分

(2)在中，由余弦定理得

，

，

解得(负值舍去)， …………………………10分

， …………………………12分

18.解:　(1)连接交于点，因为是菱形,

所以，

平面，

, …………………………3分

又平面,

平面,

,

平面,

平面平面. …………………………5分

(2)连接交于点，则,

取的中点，连接，则,

平面，

平面，

两两垂直.

以所在直线分别作为轴，轴，轴建立空间直角坐标系(如图)，则

,,,,,

,,,,

则,，

所以，，且，

所以平面，

所以平面的一个法向量为. …………………………9分

设平面的一个法向量为，则

,

,

得，

令，

得平面的一个法向量，

从而

由观察知二面角为锐角，

故所求的二面角的余弦值为. …………………………12分

19.解：（1）又即，

∴是等腰三角形 ， …………………………2分

∵ ， ∴，

∵，∴, …………………………3分

点C在椭圆上，∴∴，

∴所求椭圆方程为 . ………………………5分

（2）因为,,

由题意可知直线的斜率存在，设直线的的方程为，

令，得的坐标为．

由，得. ……………………7分

设，则有．① …………9分

设直线的斜率分别为，

从而．

因为直线的方程为，所以，

所以

． ②

把①代入②，得．

又，所以，

故直线的斜率成等差数列． …………………………12分

20.解:（1）

，

因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙； …………………5分

（2）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06.

（ⅰ）由题意可知，于是， ……………8分

（ⅱ）由题意可知的分布列为

Z	0	1	2
P

故. …………………………12分

21.解：（1）

，，，所以，故函数在上单调递减，故函数的最大值为；的最小值为，所以函数的值域为. ……………………3分

(2)原不等式可化为.........................(*)，

因为恒成立，故（*）式可化为.

令，则

当时，，所以函数在上单调递增，故，所以；

当时，令，得，且当时，；当时，.

所以当即时，函数，成立；

当即时，函数在上单调递减，，解得

综上，. …………………………9分

(3)法一：令则.

由，故存在，使得即.且当时，；当时，.故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，故函数

，因为，所以，

故……………………12分

法二：证明

令当时，；当时，.故当且仅当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，故函数,即，当且仅当时取等号；

令所以当时取等号.故.

22.解：（1）直线l的参数方程是（为参数），

消去参数得直角坐标方程为：．

转换为极坐标方程为：，即．

曲线的参数方程是（为参数），

转换为直角坐标方程为：， …………………………3分

化为一般式得

化为极坐标方程为：． ………………………5分

（2）由于，得，

．

所以，

所以，

由于，所以，

所以． …………………………10分

23.（10分）

解：（1），

若，则，得，即不等式无解，

若，则，得，即，

若，则，得，即不等式恒成立，

综上所述，的取值范围是． …………………………5分

（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，

当时，，所以．

因为，

所以，解得，结合，

所以的取值范围是． …………………………10分