广东省中山一中、仲元中学等七校2019届高三第二次联考（11月）数学.doc

七校联合体2019届高三第二次联考试卷（11月）

文科数学

命题学校：普宁市第二中学命题人：审题人：

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡相应位置）

1．设集合，则集合等于( )．

A．B．

C．D．

2．已知复数满足，则( )

A．B．C．1D． 5

3．一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为 ( )

A．B．C．D．

4．函数的单调递增区间是(　　)

A.，k∈ZB.，k∈Z

C.，k∈ZD.，k∈Z

5．设向量，，向量与的夹角为锐角，则的范围为( )

A．B．

C．D．

6．如右图，在正方体中，异面直线与所成的

夹角为()

A．B．C．D．

7．若，满足，则的最小值为( )

A． -1B． -2C． 2D． 1

8．已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为(　　)

A．5B．6C．7D．8

9．如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点

分别为B、A、F，中心为O，其离心率为，则

A．B．

C．D．

10．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动。在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想。在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论。若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数，，计算结果取整数)

A．768B．144C．767D．145

11．定义在上的连续可导函数，若当时有，则下列各项正确的是(　　)

A．B．

C．D．与大小不定

12．已知，，求的最小值()

A．4B．2C．1D．

第II卷（非选择题）

二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，请将答案填在答题卡指定位置)

13．已知函数，则的最小正周期为

14．假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号

（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

15．若，则双曲线的离心率的取值范围是___________．

16．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，且，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．

三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17、（本小题满分12分）

已知数列满足，，且．

1. 求证：数列为等差数列；
2. 设数列的前项和为，求出的表达式．

18、（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面，

四边形为正方形，，是的中点，

是的中点.

(1)求此四棱锥的体积；

(2)求证：平面；

(3)求证：平面平面．

19.（本小题满分12分）

下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

注：年份代码1~7分别对应年份2010~2016

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求出相关系数r，并用相关系数的大小说明y与t相关性的强弱；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：，，，.

参考公式：

相关系数

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

20.（本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点在抛物线上且异于原点，点为直线上的点，且．求直线与抛物线的交点个数，并说明理由．

21、（本小题满分12分）已知函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，求函数的零点个数．

请考生从给出的22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为：(为参数，)，曲线的极坐标方程为：.

（1）写出曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，若，求直线的斜率.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）当时，恒成立，求的取值范围

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七校联合体2019届高三第二次联考试卷（11月）

文科数学参考答案

1~5．ACBBC6~10．CBDAD11~12．CB

13．114．06815．16．.

12题解析：是曲线上的点，是

直线上的点；可看成

曲线上的点到直线上的点的距离的平方。

易知所求的最小值为2.

16题解析：当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切

时球的半径最大.作出其侧视图如右：

易知球的半径.

注：也可以用体积分割——整体等于各部分之和的思想求解.

17．解：(1)证明：因，且，

故，故.又因，

故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．……………6分

(2)由(1)知数列的通项公式为，又，

所以.故

所以………………………12分

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18．(1) 四棱锥的体积……… 4分

(2)证明：在上取中点为，连接和，

则易得，且，

且故四边形为平行四边形，故，

又面，面

故面………………………………8分

(3) 证明：∵，，

又∴平面

又平面∴，

又，

∴平面． ∴平面．

又面， ∴平面⊥平面．………12分

19.解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得

，，，

，.

因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.……………………6分

（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，

.

所以，关于的回归方程为：.

将2018年对应的代入回归方程得：.

所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨. …………………12分

20． 解：（1）抛物线的准线方程为，……………………………………1分

所以点到焦点的距离为．…………………………………2分

解得．…………………………………………………………3分

所以抛物线的方程为．………………………………………………4分

（2）直线与抛物线只有一个交点，理由如下：……………………………5分

设点为，点为，焦点为．……………………6分

则，．由题意可得，…………7分

故．从而．……………………………… 8分

故直线的斜率．…………………………………………9分

故直线的方程为，即．①………10分

又抛物线的方程，②

联立消去得，故，且．……………………11分

故直线与抛物线只有一个交点．………………………………………12分

21.解：的定义域为．

1. ，
   ①当时，，故在上单调递增；
   ②当时，令，则，
   在上，，单调递增，
   在上，，单调递减．
   综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减．……………………………5分
2. 由(1)可知，当时，在上递增，在上递减．

故，

①当，即时，，

此时函数没有零点．

②当，即时，，

此时函数有一个零点．

③当，即时，，

令且，则，，

故，故在有一个零点；

再者，，

令，则；再令，

则，故在上单调递减，

故，．

故，故在上有一个零点．

故在上有两个零点．

综上所述：当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．………………………………………12分

22.解：（Ⅰ），

由,得.

∴曲线的直角坐标方程为.……………………4分

（Ⅱ）把代入，整理得

设其两根分别为，则……………………6分

得，，

∴直线的斜率为.………………………………………10分

23.解：（Ⅰ），

由解得

即不等式的解集为.…………5分

（Ⅱ）当时，，

由，得，

也就是在恒成立，

故，即的取值范围为…………10分