2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-湖北卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（文史类）

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷上无效．

3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．

4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．的值为（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

2．如果，，，那么（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

3．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（　　）

Ａ．10Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．3

４．函数的反函数是（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

5．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

6．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ）

A．300B．360C．420D．450

7．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ）

A．B．C．D．

8．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）

A．1B．C．D．

9．设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（ ）

A．B．C．D．

10．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：

①是的充要条件；

②是的充分条件而不是必要条件；

③是的必要条件而不是充分条件；

④是的必要条件而不是充分条件；

⑤是的充分条件而不是必要条件．

则正确命题的序号是（ ）

A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．

11．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 ．

12．过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为______．

13．已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．

14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为

．（用数值作答）

15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为．

（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数，．

（I）求的最大值和最小值；

（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

17．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．

（I）求证：平面平面；

（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．

18．（本小题满分12分）

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；

（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

19．（本小题满分12分）

设二次函数，方程的两根和满足．

（I）求实数的取值范围；

（II）试比较与的大小．并说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．

（I）证明：；

（II）若，证明数列是等比数列；

（III）求和：．

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．

（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

（此题不要求在答题卡上画图）

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）试题参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

1．Ａ2．Ｄ3．Ｃ4．Ａ5．Ｄ

6．Ｂ7．Ａ8．Ｃ9．Ｂ10．Ｂ

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分．

11．12．813．3

14．15．；0.6

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．

解：（Ⅰ）

．

又，，即，

．

（Ⅱ），，

且，

，即的取值范围是．

17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．

连接，于是就是直线与平面所成的角．

依题意，所以

在中，；

在中，，

．

，．

故当时，直线与平面所成的角为．

解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

于是，，，．

从而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则由．

得

可取，又，

于是，

即，．

故交时，直线与平面所成的角为．

解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．

从而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则由，得

可取，又，

于是，

即．

故交时，

即直线与平面所成角为．

18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．

解：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，

则依题意有，

又由已知条件，，于是有，

所以．

（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有．

		2		12
		0		0
		极小		极大

故时，达到极大值．因为，，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．

19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．

解法1：（Ⅰ）令，

则由题意可得．

故所求实数的取值范围是．

（II），令．

当时，单调增加，当时，

，即．

解法2：（I）同解法1．

（II），由（I）知，

．又于是

，

即，故．

解法3：（I）方程，由韦达定理得

，，于是

．

故所求实数的取值范围是．

（II）依题意可设，则由，得

，故．

20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．

解法1：（I）证：由，有，．

（II）证：，

，，

．

是首项为5，以为公比的等比数列．

（III）由（II）得，，于是

．

当时，

．

当时，

．

故

解法2：（I）同解法1（I）．

（II）证：
，又，

是首项为5，以为公比的等比数列．

（III）由（II）的类似方法得，

，

，．

．

下同解法1．

21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，

直线的方程为，与联立得消去得．

由韦达定理得，．

于是．

，

当，．

（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，

设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，

则，点的坐标为．

，

，

，

．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

，

又由点到直线的距离公式得．

从而，

当时，．

（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入得，

则．

设直线与以为直径的圆的交点为，

则有．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．