2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-湖南卷

绝密★启用前

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.

参考公式:

如果事件、互斥，那么

如果事件、相互独立，那么

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是

球的体积公式,球的表面积公式，其中表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．不等式的解集是

　 A． 　　 　B. 　　

　C. 　 　D.

2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是

　 A．　　　　　 B. 　

C.　 D.

3. 设，有实根，则是的

　 A．充分不必要条件　　　　 　B. 必要不充分条件　　 　　

C. 充分必要条件　　　　 D. 既不充分也不必要条件

4．在等比数列中，若，则该数列的前10项和为

A．　　　　 B. 　 　　 C.　 　 　D.

5．在的二项展开式中，若只有的系数最大，则

　 A．8　　　　　 B. 9 　 C. 10　　　　　 D.11

6．如图1，在正四棱柱中，E、F

分别是的中点，则以下结论中不成立的是

A．B.

C.　　 D.

图1

7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是

A．48米 　 B. 49米 　　　 C. 50米 　　　 D. 51米

8．函数的图象和函数的图象的交点个数是

A．1 　　　B.2 　　　 　C.3　　　 D. 4

9．设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是

A． 　 B. 　　 C. 　　　 D.

10. 设集合，的含两个元素的子集，且满 足：对任意的，都有.则的最大值是

A．10　　　　　 B.11 C. 12 D. 13

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.

11. 圆心为且与直线相切的圆的方程是　　　　 　　.

12. 在中，角A、B、C所对的边分别为，若，则

A=　　　　　.

13. 若　　　　　.

14. 设集合，

（1）的取值范围是　　　　 　.

（2）若且的最大值为9，则的值是 .

15.棱长为1的正方形的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是 ；设分别是该正方形的棱的中点，则直线被球O截得的线段长为 .

三．解答题：本大题共６小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分１２分）

已知函数.求：

(Ⅰ)函数的最小正周期；

（Ⅱ）函数的单调增区间.

17.（本小题满分１２分）

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.

(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率.

18.（本小题满分１4分）

如图3，已知直二面角，，，，，，直线CA和平面所成的角为.

(Ⅰ)证明；

(Ⅱ)求二面角的大小.

19.（本小题满分13分）

已知双曲线的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）.

（Ｉ）证明为常数；

（Ⅱ）若动点（其中为坐标原点），

求点的轨迹方程.

20.（本小题满分13分）

设是数列的前项和，，且，，。

（Ⅰ）证明数列是常数数列；

（Ⅱ）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项.

21.（本小题满分13分）

已知函数在区间内各有一个极值点.

（Ⅰ）求的最大值；

　（Ⅱ）当时，设函数在点处的切线为，若在点A处穿过的图象（即动点在点A附近沿曲线运动，经过点A时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式.

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文史类）参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

1.D2.B3.A4.B5.C

6.D7.C8.C9.D10.B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．

11.12.13.3

14.（1）（2）15.，

三、解答题

16.解：

(Ⅰ) 函数的最小正周期是

（Ⅱ）当，即（）时，

函数是增函数，

故函数的单调增区间是（）

17.(Ⅰ)解法一任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是

解法二任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

该人参加过两项培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是

(Ⅱ)解法一任选3名下岗人员，这3人中只有2人参加过培训的概率是

3人都参加过培训的概率是

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是

解法二任选3名下岗人员，这3人中只有1人参加过培训的概率是

3人都没有参加过培训的概率是

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是

18. (Ⅰ)证明：在平面内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB，

因为，，所以

又因为CA=CB，所以OA=OB，

而，

所以，，

从而BO⊥PQ，又CO⊥PQ，

所以PQ⊥平面OBC，

因为平面OBC，故

(Ⅱ)解：解法一由(Ⅰ)知，BO⊥PQ，又，，，所以

过点O作OH⊥AC于点H，连结BH，由三垂线定理知：BH⊥AC，

故是二面角的平面角。

由(Ⅰ)知，，所以是CA和平面所成的角，即

不妨设AC=2，则，

在中，，所以

于是在中，

故二面角的大小为

解法二由(Ⅰ)知：，，，

故可以O为原点，分别以直线OB、OA、OC为轴、轴、

轴建立空间直角坐标系（如图）。

因为，所以是CA和平面所成的角，即，

不妨设AC=2，则，

在中，，

所以

则相关各点的坐标分别是，，，

所以，

设是平面ABC的一个法向量，由得：

取，得。易知是平面的一个法向量

设二面角的平面角为，由图可知，

所以

故二面角的大小为

19. 解：由条件知，设，

（Ｉ）当AB与轴垂直时，可设点A、B的坐标分别为、，

此时

当AB不与轴垂直时，设直线AB的方程是

代入，有

则，是上述方程的两实根，所以，

于是

综上所述，为常数

（Ⅱ）解法一设，则，，，

，由得：

，即

于是AB的中点坐标为

当AB不与轴垂直时，，即

又因为A、B两点在双曲线上，所以，两式相减得

，即

将代入上式，化简得

当AB与轴垂直时，，求得，也满足上述方程

所以点的轨迹方程是：

解法二同解法一得①

当AB不与轴垂直时，由（Ｉ）有②

③

由①②③得：， ④ ⑤

当时，，由④、⑤得：，将其代入⑤有

，整理得：

当时，点M的坐标为，满足上述方程

当AB与轴垂直时，，求得，也满足上述方程

故点的轨迹方程是：

20. 解：（Ⅰ）当时，由已知得

，①

于是②

由②—①得：③

于是④

由④—③得：⑤

即数列是常数数列。

（Ⅱ）由①有，所以

由③有，所以

而⑤表明：数列和分别是以、为首项，6为公差的等差数列，

所以，，

由题设知，

当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是中的项。

若是数列中的第项，由得，

取得：，此时，由得，

，从而是数列中的第项。

（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）

21. 解：（Ⅰ）因为函数在区间内分别有一个极值点，

所以在区间内分别有一个实根。

设两实根为，（<），则，且

于是，，

且当，，即，时等号成立。

故的最大值是16

（Ⅱ）解法一由知在点处的切线的方程是

，即

因为切线在点A处穿过的图象

所以在两边附近的函数值异号，

则不是的极值点。

而，

且

若，则和都是的极值点，

所以，即，又由得

故

解法二同解法一得

因为切线在点A处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，

于是存在，（），

当时，，当时，

或当时，，当时，

设，则

当时，，当时，

或当时，，当时，

由知是的极值点，则，

所以，又由得， 故