2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学-辽宁卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学（理工科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

如果事件相互独立，那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，，则（ ）

A．B．C．D．

2．若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）

A．B．C．D．

3．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ ）

A．0B．C．D．

4．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）

A．63B．45C．36D．27

5．若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

6．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）

A．B．C．D．

7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）

A．若，则B．若，，则

C．若，，则D．若，，则

8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）

A．B．

C．D．

9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）

A．B．C．D．

10．设是两个命题：，则是的（ ）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

11．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）

A．B．C．D．

12．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）

A．0是的极大值，也是的极大值

B．0是的极小值，也是的极小值

C．0是的极大值，但不是的极值

D．0是的极小值，但不是的极值

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知函数在点处连续，则．

14．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则= ．

15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．

16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数（其中）

（I）求函数的值域；

（II）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间．

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．

（I）证明：；

（II）求的长，并求点到平面的距离．

19．（本小题满分12分）

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为

该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：

市场情形	概率	价格与产量的函数关系式
好	0.4
中	0.4
差	0.2

设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．

（I）分别求利润与产量的函数关系式；

（II）当产量确定时，求期望；

（III）试问产量取何值时，取得最大值．

20．（本小题满分14分）

已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）

（I）求圆的方程；

（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

21．（本小题满分12分）

已知数列，与函数，，满足条件：

，.

（I）若，，，存在，求的取值范围；

（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．

22．（本小题满分12分）

已知函数，．

（I）证明：当时，在上是增函数；

（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；

（III）证明：．