2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-辽宁卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学（供文科考生使用）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

如果事件相互独立，那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则（ ）

A．B．C．D．

2．若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）

A．B．C．D．

3．双曲线的焦点坐标为（ ）

A．，B．，

C．，D．，

4．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ ）

A．0B．C．D．

5．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）

A．63B．45C．36D．27

6．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）

A．若，则B．若，，则

C．若，，则D．若，，，则

7．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）

A．B．C．D．

8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）

A．B．

C．D．

9．函数的单调增区间为（ ）

A．B．C．D．

10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ）

A．B．C．D．

11．设是两个命题：，则是的（ ）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（ ）

A．18B．30C．36D．48

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知函数为奇函数，若，则　　　　．

14．展开式中含的整数次幂的项的系数之和为　　　　（用数字作答）．

15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．

16．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：

分组	[500，900)	[900，1100)	[1100，1300)	[1300，1500)	[1500，1700)	[1700，1900)	[1900，)
频数	48	121	208	223	193	165	42
频率

（I）将各组的频率填入表中；

（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；

（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．

（I）证明：；

（II）求的长，并求点到平面的距离．

19．（本小题满分12分）

已知函数（其中）

（I）求函数的值域；

（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．

20．（本小题满分12分）

已知数列，满足，，且（）

（I）令，求数列的通项公式；

（II）求数列的通项公式及前项和公式．

21．（本小题满分14分）

已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）

（I）求圆的方程；

（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

22．（本小题满分12分）

已知函数，，且对任意的实数均有，．

（I）求函数的解析式；

（II）若对任意的，恒有，求的取值范围．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供文科考生使用）试题答案与评分参考

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变试题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。

（1）C（2）A（3）C（4）D（5）B（6）B（7）C（8）A（9）D（10）D（11）A
（12）B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。

（13）1（14）72（15）4n（16）2

三、解答题

（17）本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分12分.

（Ⅰ）解：

……4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是1500小时的频率为0.6.……8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1只灯管使用寿命不足1500小时的概率P=0.6.根据在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得

。

所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648.……12分

（18）本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。满分12分。

（Ⅰ）证明：连结CD，

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱。

∴CC₁⊥平面ABC，

∴CD为C₁D在平面ABC内的射影，

∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点。

∴AB⊥CD，

∴AB⊥C₁D，

∵A₁B₁∥AB，

∴A₁B₁⊥C₁D。

（Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.

∵D、E分别为AB、BC的中点。

∴DE∥AC。

又∵AF∥CE，CE⊥AC，

∴AF⊥DE。

∵MA⊥平面ABC，

∴AF为MF在平面ABC内的射影。

∴MF⊥DE，

∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。

在Rt△MAF中，AF＝,

∴AM=.

作AC⊥MF，垂足为G。

∵MF⊥DE,AF⊥DE,

∴DE⊥平面AMF,

∴平面MDE⊥平面AMF.

∴AG⊥平面MDE

在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF=,

∴AG=,即A到平面MDE的距离为。

∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE,

∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为。

解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF，

∵D、E分别为AB、CB的中点，

DE∥AC,

又∵AF∥CE,CE⊥AC,

∴AF⊥DE,

∵MA⊥平面ABC,

∴AF为MF在平面ABC内的射影，

∴MF⊥DE,

∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。

在Rt△MAF中，AF=BC=,

∴AM=.……8分

设C到平面MDE的距离为h。

∵,

∴,

,

,

，

∴h=，即C到平面MDE的距离为。……12分

19.本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力。满分12分。

（Ⅰ）解：……5分

由-1≤≤1，得-3≤≤1。

可知函数的值域为［-3,1］.……7分

（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周其为w，又由w＞0，得，即得w=2。

于是有，再由，解得

。

所以的单调增区间为［］

（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。

（Ⅰ）解：由题设得，即

（Ⅱ）解：由题设得，令，则

。

易知{d}是首项，公比为的等比数列，通项公式为

d＝……8分

由于解得

a＝。……10分

求和得

。……12分

（21）本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。满分14分。

（Ⅰ）解法一：设A、B两点坐标分别为（），（），由题设知

，

解得，

所以A（6，2），B（6，-2）或A（6，-2），B（6，2）。

设圆心C的坐标为（r,0），则，所以圆C的方程为

……4分

解法二：设A、B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），由题设知

又因为，可得，即

。

由，可知x₁＝0，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上，

设C点的坐标为（r,0），则A点的坐标为（），于是有，解得r=4，所以圆C的方程为

。……4分

（Ⅱ）解：设∠ECF＝2a，则

……8分

在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得