2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-重庆卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试

（重庆卷）

数学试题卷（文史类）

数学试题卷（文史类）共5页，满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色铅字笔，将答案书写在答案卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

如果事件A、B相互独立，那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）在等比数列{a_n}中，a₂＝8，a₁＝64，，则公比q为

（A）2（B）3（C）4（D）8

（2）设全集U＝|a、b、c、d|，A＝|a、c|，B=|b|，则A∩（CuB）＝

（A）（B）{a}（C）{c}（D）{a,c}

（3）垂直于同一平面的两条直线

（A）平行（B）垂直（C）相交（D）异面

（4）（2x-1）²展开式中x²的系数为

（A）15（B）60（C）120（D）240

（5）“-1＜x＜1”是“x²＜1”的

（A）充分必要条件（B）充分但不必要条件

（C）必要但不充分条件（D）既不充分也不必要条件

（6）下列各式中，值为的是

（A）（B）

（C）（D）

（7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为

（A）（B）（C）（D）

（8）若直线与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为

1. -或（B）（C）或（D）

（9）已知向量=（4，6），=（3，5），且⊥，∥，则向量=

（A）（B）（C）（D）

（10）设P（3，1）为二次函数的图象与其反函数的图象的一个交点，则

（A）（B）

（C）（D）

（11）设的等比中项，则a+3b的最大值为

（A）1（B）2（C）3（D）4

（12）已知以F₁（2,0），F₂（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为

（A）（B）（C）（D）

二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上。

（13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝。

（14）已知的最大值为。

（15）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为。（以数字作答）

（16）函数的最小值为。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立。

（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；

（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两命中目标的次数相等的概率。

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）

已知函数。

（Ⅰ）求f(x)的定义域；

（Ⅱ）若角a在第一象限且

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分。）

如题（19）图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC＝90°，AB=1,BC=,AA₂=2;点D在棱BB₁上，BD＝BB₁；B₁E⊥A₁D，垂足为E，求：

题（19）图

（Ⅰ）异面直线A₁D与B₁C₁的距离；

（Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积。

20.（本小题满分12分）

用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

题（21）图

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

（22）（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n＞1，且

（Ⅰ）求｛a_n｝的通项公式；

（Ⅱ）设数列｛b_n｝满足并记T_n为｛b_n｝的前n项和，求证：

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2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题（文史类）答案

一、选择题：每小题5分，满分60分。

（1）A（2）D（3）A（4）B（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）C
（11）B（12）C

二、填空题：每小题4分，满分16分。

（13）（14）9（15）288（16）1+2

三、解答题：满分74分

解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）＝，从而甲命中但乙未命中目标的概率为

（Ⅱ）设A₁表示甲在两次射击中恰好命中k次，B₁表示乙有两次射击中恰好命中l次。

依题意有

由独立性知两人命中次数相等的概率为

(18)（本小题13分）

解：（Ⅰ）由

故f(x)的定义域为

（Ⅱ）由已知条件得

从而

＝

＝

＝

（19）（本小题12分）

解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B₁C₁⊥B₁D，又因为∠ABC＝90°，因此B₁C₁⊥A₁B₁，从而B₁C₁⊥平面A₁B₁D，得B₁C₁⊥B₁E。又B₁E⊥A₁D，

故B₁E是异面直线B₁C₁与A₁D的公垂线

由知

在Rt△A₁B₁D中，A₂D＝

又因

故B₁E=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁C₁⊥平面A₁B₁D，又BC∥B₁C₁，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为

V＝V_C-ABDE＝

其中S为四边形ABDE的面积。如答（19）图1，过E作EF⊥BD，垂足为F。

答（19）图1

在Rt△B₁ED中，ED=

又因S_△B1ED=

故EF=

因△A₁AE的边A₁A上的高故

S_△A1AE＝

又因为S_△A1BD＝从而

S＝S_△A1AE-S_△A1AE-S_△A1B1D＝2-

所以

解法二：（Ⅱ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则

答（19）图2

A(0,1,0),A₁(0,1,2),B(0,0,0).

B₁(0,0,2),C₁(,0,2),D(0,0,)

因此

设E（，y₀，z₀），则，

因此

又由题设B₁E⊥A₁D，故B₁E是异面直线B₁C₁与A₁D的公垂线。

下面求点E的坐标。

因B₁E⊥A₁D，即

又

联立（1）、（2）,解得,,即，。

所以.

（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高.

下面求四边形ABDE的面积。

因为S_ABCD＝S_ABE+ S_ADE，

而S_ABE＝

S_BDE＝

故S_ABCD＝

所以

（20）（本小题12分）

解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

.

故长方体的体积为

从而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×1²-6×1³（m³），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.

答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m³。

（21）（本小题12分）

（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而

因此焦点的坐标为（2，0）.

又准线方程的一般式为。

从而所求准线l的方程为。

答（21）图

（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

记A、B的横坐标分别为x_xx_z，则

|FA|＝|AC|＝解得，

类似地有，解得。

记直线m与AB的交点为E，则

所以。

故。

解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。

将此式代入,得，故。

记直线m与AB的交点为，则

，

，

故直线m的方程为.

令y=0,得P的横坐标故

。

从而为定值。

（22）（本小题12分）

（Ⅰ）解：由，解得a₁＝1或a₁＝2，由假设a₁＝S₁＞1，因此a₁＝2。

又由a_n+1＝S_n+1-S_n＝，

得a_n+1-a_n-3＝0或a_n+1＝-a_n

因a_n＞0，故a_n+1＝-a_n不成立，舍去。

因此a_n+1-a_n-3＝0。从而｛a_n｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a_n｝的通项为a_n＝3n-2。

（Ⅱ）证法一：由可解得

；

从而。

因此。

令,则

。

因，故

.

特别的。从而，

即。

证法二：同证法一求得b_n及T_n。

由二项式定理知当c＞0时，不等式

成立。

由此不等式有

＝。

证法三：同证法一求得b_n及T_n。

令A_n＝，B_n＝，C_n＝。

因，因此。

从而

＞。