2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-安徽卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数 学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)S=4Πr²

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P(A·B)=P(A)+P(B) 球的体积公式

1+2+…+nV=

1²+2²+…+n²=其中R表示球的半径

1³+2³++n³=

第Ⅰ卷（选择题共55分）

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列函数中，反函数是其自身的函数为

1. （B）
   (C)(D)
   (2)设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是lm且“ln”的
   （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
   (C)充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
   (3)若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是
   1. a＜-1 (B)≤1 (C) ＜1 （D）a≥1

（4）若a为实数，＝-I，则a等于

（A）（B）-（C）2（D）-2

（5）若，，则的元素个数为

（A）0（B）1（C）2（D）3

（6）函数的图象为C

①图象关于直线对称;

②函灶在区间内是增函数;

③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.

（A）0（B）1（C）2（D）3

（7）如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为

（A）（B）（C）（D）

（8）半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为

（A）（B）（C）（D）

（9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为

（A）（B）（C）（D）

（10）以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于

（A）-（B）

（C）（D）

（11）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为

（A）0（B）1（C）3（D）5

2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(理科)

第Ⅱ卷(非选择题 共95分)

注意事项:

请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.

二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.

(12)若(2x³+)^a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 .
（13）在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）.

（14）如图，抛物线y=-x²+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P₁,P₂,…,P_n-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q₁，Q₂，…，Q_n-1，从而得到n-1个直角三角形△Q₁OP₁, △Q₂P₁P₂,…, △Q_n-1P_n-1P_n-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .

(15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体.

三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（16）（本小题满分12分）

已知0＜a＜的最小正周期，求.

(17) (本小题满分14分)

如图，在六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2.

（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；

（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；

（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值圾示）.

(18) (本小题满分14分)

设a≥0，f(x)=x－1－ln²x＋2alnx（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln²x－2alnx＋1.

(19) (本小题满分12分)

如图，曲线G的方程为y²=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t>0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.

（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关

系式；

（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：

直线CD的斜率为定值.

(20) (本小题满分13分)

在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.

（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；

（Ⅱ）求数学期望Eξ；

（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.

(21) (本小题满分14分)

某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1＋r）^a－1，第二年所交纳的储备金就变为a₂（1＋r）^a－2，……，以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出T_n与T_n－1（n≥2）的递推关系式；

（Ⅱ）求证：T_n＝A_n＋B_n，其中｛A_n｝是一个等比数列，｛B_n｝是一个等差数列.

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分．

1．Ｄ2．Ａ3．Ｂ4．Ｂ5．Ｃ

6．Ｃ7．Ａ8．Ｃ9．Ｄ10．Ｂ11．Ｄ

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

12．713．

14．15．①③④⑤

三、解答题

16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．

解：因为为的最小正周期，故．

因，又．

故．

由于，所以

．

17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．

解法1（向量法）：

以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，

则有．

（Ⅰ）证明：

．

．

与平行，与平行，

于是与共面，与共面．

（Ⅱ）证明：，

，

，．

与是平面内的两条相交直线．

平面．

又平面过．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

．

二面角的大小为．

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

设分别为的中点，连结，

有．

，

于是．

由，得，

故，与共面．

过点作平面于点，

则，连结，

于是，，．

，．

，．

所以点在上，故与共面．

（Ⅱ）证明：平面，，

又（正方形的对角线互相垂直），

与是平面内的两条相交直线，

平面．

又平面过，平面平面．

（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，

根据三垂线定理，有．

过点在平面内作于，连结，

则平面，

于是，

所以，是二面角的一个平面角．

根据勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小为．

18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．

（Ⅰ）解：根据求导法则有，

故，

于是，

列表如下：

		2
		0
		极小值

故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．

（Ⅱ）证明：由知，的极小值．

于是由上表知，对一切，恒有．

从而当时，恒有，故在内单调增加．

所以当时，，即．

故当时，恒有．

19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．

解：（Ⅰ）由题意知，．

因为，所以．

由于，故有．　（1）

由点的坐标知，

直线的方程为．

又因点在直线上，故有，

将（1）代入上式，得，

解得．

（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为

．

所以直线的斜率为定值．

20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．

解：（Ⅰ）的分布列为：

	0	1	2	3	4	5	6

（Ⅱ）数学期望为．

（Ⅲ）所求的概率为．

21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．

解：（Ⅰ）我们有．

（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得

，①

在①式两端同乘，得

②

②①，得

．

即．

如果记，，

则．

其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．