2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-广东卷

绝密★启用前

2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高。

如果事件、互斥，那么.

如果事件、相互独立，那么.

用最小二乘法求线性回归方程系数公式.

1. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只
   有一项符合要求的.
   1.已知函数的定义域为，的定义域为，则
   1. B.C.D.

2.若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数）则＝

A.2B.C.D.

3.若函数

A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数

C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数

4.客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是

A B C D

5.已知数|a_n|的前n项和，第k项满足,则

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

6.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A_1、A₂、…、A₁₀（如A₂表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A. i<6 B. i<7 C. i<8 D. i<9

7.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

8.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对,在S中有唯一确定的元素﹡与之对应）.若对任意的,有

﹡(﹡,则对任意的,下列等式中不恒成立的是

A. (﹡)﹡ B. [﹡(﹡]﹡(﹡)

C.﹡(﹡) D. (﹡)﹡[﹡(﹡)

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.

9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）

10.若向量满足与的夹角为120°，则.

11.在平面直角坐标系中，有一定点（2，1），若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 .

12.如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有对异面直线，则＝ 图4

;＝ .（答案用数字或的解析式表示）

13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，(参数),圆的参数方程为(参数)，则圆的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 .

14.（不等式选讲选做题）设函数＝ ;若，则的取值范围是 .

15.（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点、，则

∠＝ ，线段的长为 .

图5

三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知△顶点的直角坐标分别为.

（1）若，求sin∠的值;

（2）若∠是钝角，求的取值范围.

17.(本题满分12分)

下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=;

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）

18.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线相切于坐标原点O.椭圆＝1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.

（1）求圆C的方程.

（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分14分）

如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.

（1）求V(x)的表达式；

（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

(3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值

20.（本小题满分14分）

已知a是实数，函数如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.

21.（本小题满分14分）

已知函数是方程的两个根,是的导数.设,

(1)求的值；

(2)证明：对任意的正整数n，都有;

(3)记,求数列的前n项和.

一. CADBB CBA

二. 9. 10.11.12. ,12 ,

13.14.15.

三.解答题

16.(1)解:,设AC中点为M,则;

(2)解:,若是钝角,则

.

17. 解: (1) 散点图略

(2)

;

所求的回归方程为

(3),吨,

预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)

18. 解:(1) 设圆C 的圆心为

则解得

所求的圆的方程为

(2) 由已知可得

椭圆的方程为 , 右焦点为 .

设存在点满足条件,则解得

故存在符合要求的点.

19.解: (1)即;

(2),时,时,

时取得最大值.

(3)以E为空间坐标原点,直线EF为轴,直线EB为轴,直线EP为轴建立空间直角坐标系,则;

,设异面直线AC与PF夹角是

20.解:若,则有唯一零点为,故不符合要求;

由,且.由当时,,

当时,,在两个区间上分别递增;

当时,,在两个区间上分别递减;

由时,时,,时,

分析如图:

解法二: 若,,显然在上没有

零点, 所以

令

得

当时,恰有一个零点在上;

当

即时,也恰有一个零点在上;

当在上有两个零点时, 则

或

解得或

因此的取值范围是或 ;

21解:(1) 由 得

(2)(数学归纳法)①当时,命题成立;

②假设当时命题成立,即

,又等号成立时

时,时命题成立;由①②知对任意均有.

(3)

同理

又

数列是一个首项为,公比为2的等比数列;

.