2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-全国2

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)

理科数学（必修+选修Ⅱ）

注意事项：

1. 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．
2. 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．
3. 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
4. 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚
5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
6. 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

如果事件相互独立，那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径

一、选择题

1．（ ）

A．B．C．D．

2．函数的一个单调增区间是（ ）

A．B．C．D．

3．设复数满足，则（ ）

A．B．C．D．

4．下列四个数中最大的是（ ）

A．B．C．D．

5．在中，已知是边上一点，若，则（ ）

A．B．C．D．

6．不等式的解集是（ ）

A．B．C．D．

7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（ ）

A．B．C．D．

8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）

A．3B．2C．1D．

9．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）

A．B．C．D．

10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）

A．40种B．60种C．100种D．120种

11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．

12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）

A．9B．6C．4D．3

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷共10题，共90分

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中常数项为 ．（用数字作答）

14．在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 ．

15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm．

16．已知数列的通项，其前项和为，则．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在中，已知内角，边．设内角，周长为．

（1）求函数的解析式和定义域；

（2）求的最大值．

18．（本小题满分12分）

从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，

侧棱底面分别为的中点．

（1）证明平面；

（2）设，求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．

21．（本小题满分12分）

设数列的首项．

（1）求的通项公式；

（2）设，证明，其中为正整数．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案

评分说明：

1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题

1．D2．C3．C4．D5．A6．C

7．A8．A9．C10．B11．B12．B

二、填空题

13．14．15．16．

三、解答题

17．解：（1）的内角和，由得．

应用正弦定理，知

，

．

因为，

所以，

（2）因为

，

所以，当，即时，取得最大值．

18．解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则互斥，且，故

于是．

解得（舍去）．

（2）的可能取值为．

若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故

．

．

．

所以的分布列为

	0	1	2

19．解法一：

（1）作交于点，则为的中点．

连结，又，

故为平行四边形．

，又平面平面．

所以平面．

（2）不妨设，则为等

腰直角三角形．

取中点，连结，则．

又平面，所以，而，

所以面．

取中点，连结，则．

连结，则．

故为二面角的平面角

．

所以二面角的大小为．

解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．

设，则

，

．

取的中点，则．

平面平面，

所以平面．

（2）不妨设，则．

中点

又，，

所以向量和的夹角等于二面角的平面角．

．

所以二面角的大小为．

20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，

即．

得圆的方程为．

（2）不妨设．由即得

．

设，由成等比数列，得

，

即．

由于点在圆内，故

由此得．

所以的取值范围为．

21．解：（1）由

整理得．

又，所以是首项为，公比为的等比数列，得

（2）方法一：

由（1）可知，故．

那么，

又由（1）知且，故，

因此为正整数．

方法二：

由（1）可知，

因为，

所以．

由可得，

即

两边开平方得．

即为正整数．

22．解：（1）求函数的导数；．

曲线在点处的切线方程为：

，

即．

（2）如果有一条切线过点，则存在，使

．

于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程

有三个相异的实数根．

记，

则

．

当变化时，变化情况如下表：

		0
		0		0
		极大值		极小值

由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．

综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则

即．