2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-北京卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）（北京卷）

本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷（选择题共40分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知，那么角是（　　）

Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角

Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角

2．函数的反函数的定义域为（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

3．平面平面的一个充分条件是（　　）

Ａ．存在一条直线

Ｂ．存在一条直线

Ｃ．存在两条平行直线

Ｄ．存在两条异面直线

4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）

Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种

6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．或

7．如果正数满足，那么（　　）

Ａ．，且等号成立时的取值唯一

Ｂ．，且等号成立时的取值唯一

Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一

Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一

8．对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：

命题甲：是偶函数；

命题乙：在上是减函数，在上是增函数；

命题丙：在上是增函数．

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　）

Ａ．①③Ｂ．①②Ｃ．③Ｄ．②

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数学（理工农医类）（北京卷）

第II卷（共110分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．

9．．

10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项．

11．在中，若，，，则．

12．已知集合，．若，则实数的取值范围是．

13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于．

14．已知函数，分别由下表给出

	1	2	3
	1	3	1

	1	2	3
	3	2	1

则的值为；满足的的值是．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题共13分）

数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．

（I）求的值；

（II）求的通项公式．

16．（本小题共14分）

如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

（I）求证：平面平面；

（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；

（III）求与平面所成角的最大值．

17．（本小题共14分）

矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．

（I）求边所在直线的方程；

（II）求矩形外接圆的方程；

（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

18．（本小题共13分）

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

19．（本小题共13分）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．

（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

（II）求面积的最大值．

20．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：

，．

其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．

若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；

（II）对任何具有性质的集合，证明：；

（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．

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数学（理工农医类）（北京卷）答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．Ｃ2．Ｂ3．Ｄ4．Ａ5．Ｂ6．Ｄ

7．Ａ8．Ｄ

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．10．11．12．

13．14．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（共13分）

解：（I），，，

因为，，成等比数列，

所以，

解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．

（II）当时，由于

，

，

，

所以．

又，，故．

当时，上式也成立，

所以．

16．（共14分）

解法一：

（I）由题意，，，

是二面角是直二面角，

又二面角是直二面角，

，又，

平面，

又平面．

平面平面．

（II）作，垂足为，连结（如图），则，

是异面直线与所成的角．

在中，，，

．

又．

在中，．

异面直线与所成角的大小为．

（III）由（I）知，平面，

是与平面所成的角，且．

当最小时，最大，

这时，，垂足为，，，

与平面所成角的最大值为．

解法二：

（I）同解法一．

（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，

，，

．

异面直线与所成角的大小为．

（III）同解法一

17．（共14分）

解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．

又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为．

．

（II）由解得点的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为．

所以为矩形外接圆的圆心．

又．

从而矩形外接圆的方程为．

（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，

所以，

即．

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．

所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．

18．（共13分）

解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．

（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．

（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知

；

；

的分布列：

	0	1	2

的数学期望：．

19．（共13分）

解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．

点的纵坐标满足方程，

解得

　，

其定义域为．

（II）记，

则．

令，得．

因为当时，；当时，，所以是的最大值．

因此，当时，也取得最大值，最大值为．

即梯形面积的最大值为．

20．（共13分）

（I）解：集合不具有性质．

集合具有性质，其相应的集合和是，

．

（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．

因为，所以；

又因为当时，时，，所以当时，．

从而，集合中元素的个数最多为，

即．

（III）解：，证明如下：

（1）对于，根据定义，，，且，从而．

如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

由（1）（2）可知，．