2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-四川卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式

如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

一．选择题：

1. 复数的值是
   （A）0 (B)1 (C)-1 (D)1
2. 函数f(x)=1+log₂x与g(x)=2^-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是
   
3. 
   （A）0 (B)1 (C)(D)
4. 如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的是
   （A）BD∥平面CB₁D₁（B）AC₁⊥BD
   （C）AC₁⊥平面CB₁D₁（D）异面直线AD与CB₁角为60°
   （5）如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是
   （A）（B）（C）（D）
   （6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且三面角B-OA-C的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是
   （A）（B）（C）（D）
   （7）设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若上的投影相同，则a与b满足的关系式为
   1. (B)

(C)(D)

（8）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于

（A）3（B）4（C）（D）

（9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为

（A）36万元（B）31.2万元（C）30.4万元（D）24万元

（10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有

（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个

（11）如图，l₁、l₂、l₃是同一平面内的三条平行直线，l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l₁、l₂、l₃上，则△ABC的边长是

（A）（B）（C）（D）

（12）已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是

（A）（B）（C）（D）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.

（13）若函数f(x)=e^-(m-u)2(c是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，则m+u= .

(14)如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC₁与侧面ACC₁A₁所成的角是 .

(15)已知⊙O的方程是x²+y²-2=0, ⊙O’的方程是x²+y²-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是.

(16)下面有五个命题：

①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是.

②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.

④把函数

⑤函数

其中真命题的序号是 （写出所言 ）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）已知<<<,

(Ⅰ)求的值.

（Ⅱ）求.

（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.

（19）（本小题满分12分）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.

（Ⅰ）求证：平面⊥平面;

（Ⅱ）求二面角的大小;

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

（20）（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

已知函数,设曲线在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数

（21）（本小题满分12分）

已知函数,设曲线在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数

(Ⅰ)用表示

(Ⅱ)

(22)(本小题满分14分)

设函数.

(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;

(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞

(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.

理科数学参考答案

一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分

（1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C

（7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B

二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分

（13）（14）（15） （16）① ④

三．解答题：

（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

解：（Ⅰ）由，得

∴，于是

（Ⅱ）由，得

又∵，∴

由得：

所以

（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A

用对立事件A来算，有

（Ⅱ）可能的取值为

，，

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率

所以商家拒收这批产品的概率为

（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。

解法一：

（Ⅰ）∵

∴，

又∵

∴

（Ⅱ）取的中点，则，连结，

∵，∴，从而

作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，

从而为二面角的平面角

直线与直线所成的角为

∴

在中，由余弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小为

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形

∴

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，

则

由直线与直线所成的解为，得

，即，解得

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得

平面的法向量取为

设与所成的角为，则

显然，二面角的平面角为锐角，

故二面角的平面角大小为

（Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离

∵，∴

（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。

解：（Ⅰ）解法一：易知

所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）

（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，

联立，消去，整理得：

∴

由得：或

又

∴

又

∵，即∴

故由①、②得或

（21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。

解：（Ⅰ）由题可得

所以过曲线上点的切线方程为，

即

令，得，即

显然∴

（Ⅱ）证明：（必要性）

若对一切正整数，则，即，而，∴，即有

（充分性）若，由

用数学归纳法易得，从而，即

又∴

于是，

即对一切正整数成立

（Ⅲ）由，知，同理，

故

从而，即

所以，数列成等比数列，故，

即，从而

所以

（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。

（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是

（Ⅱ）证法一：因

证法二：因

而

故只需对和进行比较。

令，有

由，得

因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值

故当时，，

从而有，亦即

故有恒成立。

所以，原不等式成立。

（Ⅲ）对，且

有

又因，故

∵，从而有成立，

即存在，使得恒成立。