2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-陕西卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

文科数学（必修+选修Ⅰ）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1．等于（ ）

A．B．C．D．

2．已知全集，集合，，则集合（ ）

A．B．C．D．

3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）

A．30B．25C．20D．15

4．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）

A．64B．100C．110D．120

5．直线与圆相切，则实数等于（ ）

A．或B．或C．或D．或

6．“”是“对任意的正数，”的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ ）

A．10B．4C．1D．

8．长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中, 则两点的球面距离为( )

A．B．C．D．

9．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．

10．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ ）

A．B．

C．D．

11．定义在上的函数满足（），，则等于（ ）

A．2B．3C．6D．9

12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）

A．11010B．01100C．10111D．00011

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．

13．的内角的对边分别为，若，则．

14．的展开式中的系数为 ．(用数字作答)

15．关于平面向量．有下列三个命题：

①若，则．②若，，则．

③非零向量和满足，则与的夹角为．

其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）

16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）

17．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

18．（本小题满分12分）

一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.

（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；

（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．

19．（本小题满分12分）

三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，为中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

已知数列的首项，，…．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）数列的前项和．

21．（本小题满分12分）

已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

22．本小题满分14分）

设函数其中实数．

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；

（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．

参考答案及评分标准

1. 选择题

1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．A 7．D 8．C 9．B 10．D 11．A 12．C

二、填空题

13． 14．84 15．② 16．96

三、解答题

17．解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

当时，取得最小值；当时，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

∵．

函数是偶函数．

18．解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率

．

（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为

．

19．

解法一：（Ⅰ）∵平面平面，

∴．

在中，，D为BC中点，

∴BC⊥AD，又

∴BC⊥平面A₁AD，又

∴平面平面．

（Ⅱ）如图，作交于点，连接，

由已知得平面．

是在面内的射影．

由三垂线定理知，

为二面角的平面角．

过作交于点，

则，，

．

在中，．

在中，．

，

即二面角为．

解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则，

∵D为BC的中点，∴D点的坐标为（1，1，0）

∴

∵

∴，，又，

∴平面，又平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）∵平面，

如图，可取为平面的法向量，

设平面BC的法向量为，

则

∴

∴，

如图，可取，则，

，

∴二面角为．

20．解：（Ⅰ）∵，，

，又，，

数列是以为首项，为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．

设…， ①

则…，②

由①②得

…，

．又…．

数列的前项和．

21. 解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，

由韦达定理得，，

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，

直线与抛物线相切，

，．

即．

（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，

．

由（Ⅰ）知

．

轴，．

又

．

，解得．

即存在，使．

解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得

．由韦达定理得．

，点的坐标为．，，

抛物线在点处的切线的斜率为，．

（Ⅱ）假设存在实数，使．

由（Ⅰ）知，则

，

，，解得．

即存在，使．

22．解：（Ⅰ）∵，又，

当时，；当时，，

在和内是增函数，在内是减函数．

（Ⅱ）由题意知，

即恰有一根（含重根）．≤，即≤≤，

又，．

当时，才存在最小值，．∵，

．的值域为．

（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．

由题意得，解得≥；

当时，在和内是增函数，在内是增函数．

由题意得，解得≤；

综上可知，实数的取值范围为．