2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-北京卷

绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至9页，共150分，考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题　共40分）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡颇擦干净后，再选涂其他答案。不能答在试卷上。
   一、本大题共8小题，第小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
   （1）若集合A={x|-2≤x≤3}≤3,B={x|x<-1或x>4}, 则集合A∩B等于
   （A）{x|x≤3或x>4}（B）{x|－1<x≤3}
   （C）{x|3≤x<4} (D) {x|－2≤x<-1}
   （2）若a=log₃π,b=log₇6，c=log₂0.8, 则
   （A）a>b>c（B）b>a>c
   （C）c>a>b（D）b>c>a
   （3）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为x=”的
   （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
   （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
   （4）已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于
   （A）135°　　(B)90°　(C)45°(D)30°
   （5）函数f(x)=(x-1)²+1(x<1)的反函数为
   （A）f^--1(x)=1+(x>1)（B）f^--1(x)=1-(x>1)
   （C）f^--1(x)=1+(x≥1)（D）f^--1(x)=1-(x≥1)
   x-y+1≥0,
   （6）若实数x，y满足x+y≥0,　　则z=x+2y的最小值是
   x≤0,
   1. 0(B)　(C)1(D)2

（7）已知等差数列｛a_n｝中，a₂=6,a₅=15.若b_n=a_2n,则数列｛b_n｝的前5项和等于

(A)30（B）45

(C)90　(D)186

（8）如图，动点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，过点P作垂直平面BB₁D₁D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是

绝密★使用完毕前

2008年普通高等学校校招生全国统一考试

数学（文史类）（北京卷）

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题号	二	三						总分
		15	16	17	18	19	20
分数

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

(9)若角a的终边经过点P(1,-2),则tan 2a的值为　　　　　.

(10)不等式的解集是　　　　.

(11)已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜= |b| = 4,那么a·b的值为　　　　.

(12)若展开式中常数项为 ；各项系数之和为　　　　　　.（用数字作答）

(13)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC, 其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))= ; 函数f(x)在x=1处的导数f′（1）= .

(14)已知函数f(x)=x²- cos x, 对于［－］上的任意x₁,x₂,有如下条件：

1. x₁>x₂;  ②x²₁>x²₂; ③|x₁|>x₂.

其中能使f(x₁)>f(x₂)恒成立的条件序号是　　　　　　.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围.

（16）（本小题共14分）

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求证：PC⊥AB；

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.

（17）（本小题共13分）

已知函数是奇函数.

（Ⅰ）求a,c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.

（18）（本小题共13分）

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

（19）（本小题共14分）

已知△ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l:y=x+2上，且AB∥l.

（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.

（20）（本小题共13分）

数列{a_n}满足

（Ⅰ）当a₂=-1时，求λ及a₃的值；

（Ⅱ）数列{a_n}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m, 当n＞m时总有a_n＜0.

---

绝密★考试结束前

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文史类）（北京卷）参考答案

1. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）D （2）A （3）A （4）C

（5）B （6）A （7）C （8）B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）|x|x＜-2|

（11）-8 （12）10 32

（13）2 -2 （14）②

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）

=

=

因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，

所以

解得ω=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

因为0≤x≤，

所以≤≤

所以≤sin≤1.

因此0≤≤，即f(x)的取值范围为[0，]

（16）（共14分）

解法一：

（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.

∵AP=BP，

∴PD⊥AB.

∵AC=BC.

∴CD⊥AB.

∵PD∩CD＝D.

∴AB⊥平面PCD.

∵PC平面PCD，

∴PC⊥AB.

（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC，

∴PC⊥BC.

又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，

且AC∩PC=C，

∴BC⊥平面PAC

取AP中点E,连接BE,CE

∵AB=BP

∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC内的射影，

∴CE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=，

∴sin∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为aresin

解法二：

（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC.

∴PC⊥BC.

∵AC∩BC=C,

∴PC⊥平面ABC.

∵AB平面ABC，

∴PC⊥AB.

(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.

则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.

设P（0，0，t）,

∵｜PB｜=｜AB｜＝2，

∴t=2,P(0,0,2).

取AP中点E，连结BE，CE.

∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,

∴CE⊥AP,BE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

∵E(0,1,1),

∴cos∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为arccos

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，

所以，对任意的x∈R,g(-x)= -g(x), 即f(-x)- 2= -f(x)+2.

又f(x)=x³+ax²+3bx+c,

所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2.

所以{

解得a=0，c＝2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x³+3bx+2.

所以f′(x)=3x²+3b(b≠0).

当b＜0时，由f′(x)=0得x=±

x变化时，f′(x)的变化情况如下表：

x	(-∞,-)	-	(-,)		(,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+

所以，当b＜0时，函数f(x)在（-∞，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.

当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f(x)在（-∞，+∞）上单调递增.

（18）（共13分）

解：

（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E_A，那么

　　　　　　　　　　P（E_A）=

即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是

（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么

P（E）＝

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是

P（）=1-P(E)=

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.

设A，B两点坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).

由得

所以

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，

所以

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.

由得

因为A，B在椭圆上，

所以

　　　设A，B两点坐标分别为（x₁,y₁），（x₂,y₂）.

则

　　　所以

　　　又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即

所以

　　　所以当m=-1时，AC边最长.（这时）

此时AB所在直线的方程为y=x-1.

(20)（共13分）

解：（Ⅰ）由于且a₁=1，

所以当a₂= -1时，得,

故

　从而

　（Ⅱ）数列{a_n}不可能为等差数列.证明如下：

　由a₁=1，得

　　　

　若存在，使｛a_n｝为等差数列，则a₃-a₂=a₂-a₁,即

　

　解得=3.

于是

　　　　　这与｛a_n｝为等差数列矛盾，所以，对任意，{a_n}都不可能是等差数列.

（Ⅲ）记根据题意可知，b₁＜0且，即＞2且N*)，这时总存在N*，满足：当n≥n₀时，b_n＞0；当n≤n₀-1时，b_n＜0.

　　　　所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n₀为偶数，则，从而当n＞n₀

时a_n＜0；若n₀为奇数，则，从而当n＞n₀时a_n＞0.

因此“存在mN*，当n＞m时总有a_n＜0”的充分必要条件是：n_o为偶数，

记n_o=2k(k=1,2, …)，则满足

故的取值范围是4k²+2k(kN*).