2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-四川卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试 （四川卷）

文科数学能力测试

第Ⅰ卷

本卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

如果事件相互独立，那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径

一、选择题

1.设集合，则________

1. B.C.D.{1,5}

2.函数的反函数是_____________

A.B.C.D.

3.设平面向量

A．B.C.D.

4.

A.B.C.D.

5.不等式的解集为_______

A.B.C.D.

6.将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为_________

A.B.C.D.

7.的三内角A、B、C的对边边长分别为，若，则

A.B.C.D.

8.设M是球O半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为_________

A.B.C.D.

9.函数满足，若，则

A.13 B.2 C.D.

10.直线，经过外一点与都成角的直线有且只有______

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

11.已知双曲线的左右焦点分别为为C的右支上一点，且，则的面积为_____

A.24 B.36 C.48 D.96

12.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于______

A.B.C.D.

第Ⅱ卷

本卷区10小题，共90分。

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）

13.展开式中的系数为__________

14.已知直线与圆，则C上各点到距离的最小值为_______

15.从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种

16.设数列中，，则通项_________________

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（12分）求函数的最大值与最小值

18．（12分）

设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率位0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品是相互独立的.

（Ⅰ）求进入该商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率

（Ⅱ）求进入该商场的3位顾客中，至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率

19．(12分)

如图：平面，四边形与都是直角梯形，，，，G、H分别为FA、FD的中点

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形

（Ⅱ）C、D、F、E四点是否共面？为什么？

（Ⅲ）设AB＝BE，证明：平面.

20．(12分)

设和是函数的两个极值点.

（Ⅰ）求和的值

（Ⅱ）求的单调区间.

21．(12分)

设数列的前项和

（Ⅰ）求

（Ⅱ）证明：是等比数列

（Ⅲ）求的通项公式.

22．(14分)

设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点到右准线的距离为.

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）设M、N是上的两个动点，，证明：当取最小值时，.

参考答案

一、选择题：BCADA ABDCB CB

二、填空题：2；； 140；

三、解答题

17．y=7－4sinxcosx+4cos²x－4cos⁴x

=7－2sin2x+4cos²x(1－cos²x)

=7－2sin2x+4cos²xsin²x

=7-2sin2x+sin²2x

=(1－sin2x)²+6

由于函数z=(u－1)²+6在[－1,1]中的最大值为

z_max=(－1－1)2+6=10

最小值为

z_min=(1－1)2+6=6

故当sin2x=－1时y取最大值10；当sin2x=1时y取最小值6

18．解：

（Ⅰ）记A表示事件：进入该商场的1位顾客选购甲种商品；

B表示事件：进入该商场的1位顾客选购乙种商品；

C表示事件：进入该商场1位顾选购甲、乙两种商品中的一种。

则C=(A·)+(·B)

P(C)=P(A·+·B)

=P(A·)+P(·B)

=P(A)·P()+P()·P(B)

=0.5×0.4+0.5×0.6

=0.5

（Ⅱ）记A₂表示事件：进入该商场的3位顾客中恰有2位顾客既未选购甲种商品，也未选购乙种商品；

A₃表示事件：进入该商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购乙种商品；

D表示事件：进入该商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选购乙种商品；

E表示事件：进入该商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选购乙种商品。

则D=·

P(D)=P(·)=P()·P()=0.5×0.4=0.2

P(A₂)=×0.2²×0.8=0.096

P(A₃)=0.2³=0.008

P(E)=P(A₂+A₃)=P(A₂)+P(A₃)=0.096+0.008=0.104

19．解法一：

（Ⅰ）由题设知，FG=GA，FH=HD

所以GHAD

又BC，故GHBC

所以四边形BCHG是平行四边形。

（Ⅱ）C、D、F、E四点共面。理由如下：

由BEAF，G是FA的中点知，BEGF，所以EF∥BG

由（Ⅰ）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面，又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面。

（Ⅲ）连续EG，由AB=BE，BEAG及∠BAG=90º知ABEG是正方形，故BG⊥EA，由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BG⊥ED，又ED∩EA=E，所以BG⊥平面ADE

由（Ⅰ）知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE，由（Ⅱ）知F∈平面CDE，故CH平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE

解法二：

由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直

如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向建立直角坐标系A－xyz

（Ⅰ）设AB＝a，BC＝b，BE＝c，由题意得：

所以=(0,b,0)，=(0,b,0)

于是=

又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形

（Ⅱ）C、D、F、E四点共面，理由如下：

由题设知，F(0,0,2c)，所以

=(－a,0,c)，=(－a,0,c),=，

又CEF，H∈FD，故C、D、F、E四点共面。

（Ⅲ）由AB=BE，得c=a，所以=(－a,0,a)，=(a,0,a)

又=(0,2b,0)，因此，·=0，·=0

即 CH⊥AE，CH⊥AD

又 AD∩AE=A，所以CH⊥平面ADE

故由CH平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE

20．解：

（Ⅰ）

和是函数的两个极值点

（Ⅱ）

由

由图知：

；

在

21．解：

（Ⅰ）

…………①

（Ⅱ）由题设和①式知

所以是首项为2，公比为2的等比数列

（Ⅲ）

22．解

（Ⅰ）因为e=,F₂到l的距离d=，所以由题设得

，

又，所以

（Ⅱ）由c=，a=2得

故可设

，所以y₁y₂≠0，y2=

＝

上式取等号，此时y₂=－y₁

所以