2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供理科考生使用）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

如果事件相互独立，那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中事件恰好发生次的概率

其中表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则集合＝（ ）

A．B．C．D．

2．（ ）

A．B．C．1D．2

3．圆与直线没有公共点的充要条件是（ ）

A．B．

C．D．

4．复数的虚部是（ ）

A．B．C．D．

5．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（ ）

A．B．C．D．

6．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）

A．B．C．D．

7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）

A．B．C．D．

8．将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ ）

A．B．C．D．

9．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）

A．24种B．36种C．48种D．72种

10．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）

A．B．C．D．

11．在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱AA₁，CC₁的中点，则在空间中与三条直线A₁D₁、EF、CD都相交的直线（ ）

A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条

12．设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．函数的反函数是__________．

14．在体积为的球的表面上有A，B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．

15．已知的展开式中没有常数项，，且2≤n≤8，则n=______．

16．已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在中，内角对边的边长分别是，已知，．

（Ⅰ）若的面积等于，求；

（Ⅱ）若，求的面积．

18．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．

（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，

并求出这个值；

（Ⅲ）若与平面PQEF所成的角为，求与平

面PQGH所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．

21．（本小题满分12分）

在数列，中，a₁=2，b₁=4，且成等差数列，成等比数列（）

（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：．

22．（本小题满分14分）

设函数．

（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分．

1．D2．B3．C4．B5．A6．A

7．C8．A9．B10．A11．D12．C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

13．14．15．16．

三、解答题

17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，

又因为的面积等于，所以，得．4分

联立方程组解得，．6分

（Ⅱ）由题意得，

即，8分

当时，，，，，

当时，得，由正弦定理得，

联立方程组解得，．

所以的面积．12分

18．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．3分

（Ⅱ）的可能值为8，10，12，14，16，且

P（=8）=0.2²=0.04，

P（=10）=2×0.2×0.5=0.2，

P（=12）=0.5²+2×0.2×0.3=0.37，

P（=14）=2×0.5×0.3=0.3，

P（=16）=0.3²=0.09．

的分布列为

	8	10	12	14	16
P	0.04	0.2	0.37	0.3	0.09

9分

=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）12分

19．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分．

解法一：

（Ⅰ）证明：在正方体中，，，又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直．4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

，是定值．8分

（III）解：连结BC′交EQ于点M．

因为，，

所以平面和平面PQGH互相平行，因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等．

与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM与的比值就是所求的正弦值．

设交PF于点N，连结EN，由知

．

因为⊥平面PQEF，又已知与平面PQEF成角，

所以，即，

解得，可知E为BC中点．

所以EM=，又，

故与平面PQGH所成角的正弦值为．12分

解法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得

，

，

．

因为，所以是平面PQEF的法向量．

因为，所以是平面PQGH的法向量．

因为，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．4分

（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．

在所建立的坐标系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．8分

（Ⅲ）解：由已知得与成角，又可得

，

即，解得．

所以，又，所以与平面PQGH所成角的正弦值为

．12分

20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．3分

（Ⅱ）设，其坐标满足

消去y并整理得，

故．5分

若，即．

而，

于是，

化简得，所以．8分

（Ⅲ）

．

因为A在第一象限，故．由知，从而．又，

故，

即在题设条件下，恒有．12分

21．本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）由条件得

由此可得

．2分

猜测．4分

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．7分

（Ⅱ）．

n≥2时，由（Ⅰ）知．9分

故

综上，原不等式成立．12分

22．本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．

解：（Ⅰ）．2分

故当时，，

时，．

所以在单调递增，在单调递减．4分

由此知在的极大值为，没有极小值．6分

（Ⅱ）（ⅰ）当时，

由于，

故关于的不等式的解集为．10分

（ⅱ）当时，由知，其中为正整数，且有

．12分

又时，．

且．

取整数满足，，且，

则，

即当时，关于的不等式的解集不是．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为．14分