2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-陕西卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

理科数学（必修+选修Ⅱ）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1．复数等于（ ）

A．B．C．1D．

2．已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（ ）

A．1B．2C．3D．4

3．的内角的对边分别为，若，则等于（ ）

A．B．2C．D．

4．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）

A．64B．100C．110D．120

5．直线与圆相切，则实数等于（ ）

A．或B．或C．或D．或

6．“”是“对任意的正数，”的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ ）

A．B．1C．4D．10

8．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．

9．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ ）

A．B．

C．D．

10．已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）

A．7B．5C．4D．3

11．定义在上的函数满足（），，则等于（ ）

A．2B．3C．6D．9

12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）

A．11010B．01100C．10111D．00011

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．

13．，则．

14．长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为 ．

15．关于平面向量．有下列三个命题：

①若，则．②若，，则．

③非零向量和满足，则与的夹角为．

其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）

16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）

17．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

18．（本小题满分12分）

某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得4-i分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．

（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．

19．（本小题满分12分）

三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．

（Ⅰ）求函数的另一个极值点；

（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．

22．（本小题满分14分）

已知数列的首项，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意的，，；

（Ⅲ）证明：．

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A

8．B 9．D 10．B 11．C 12．C

二、13．1 14． 15．② 16．96

三、17．解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

当时，取得最小值；当时，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．

函数是偶函数．

18．（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事件为，则，

．

（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3．的分布列为

	0	1	2	3
	0.008	0.032	0.16	0.8

.

19．解法一：（Ⅰ）平面平面，

．在中，，

，，又，

，，即．

又，平面，

平面，平面平面．

（Ⅱ）如图，作交于点，连接，

由已知得平面．

是在面内的射影．

由三垂线定理知，

为二面角的平面角．

过作交于点，

则，，

．

在中，．

在中，．

，

即二面角为．

解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则，

，．

点坐标为．

，．

，，，，又，

平面，又平面，平面平面．

（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，

设平面的法向量为，则．

，

如图，可取，则，

，

即二面角为．

20．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，

由韦达定理得，，

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，

直线与抛物线相切，

，．

即．

（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，

．

由（Ⅰ）知

．

轴，．

又

．

，解得．

即存在，使．

解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得

．由韦达定理得．

，点的坐标为．，，

抛物线在点处的切线的斜率为，．

（Ⅱ）假设存在实数，使．

由（Ⅰ）知，则

，

，，解得．

即存在，使．

21．解：（Ⅰ），由题意知，

即得，（*），．

由得，

由韦达定理知另一个极值点为（或）．

（Ⅱ）由（*）式得，即．

当时，；当时，．

（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．

，

，

由及，解得．

（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．

，

恒成立．

综上可知，所求的取值范围为．

22．解法一：（Ⅰ），，，

又，是以为首项，为公比的等比数列．

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有

．

取，

则．

原不等式成立．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）设，

则

，

当时，；当时，，

当时，取得最大值．

原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一．