2010年全国高考理科数学试题及答案-湖南

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分．

参考公式：锥体的体积公式为，其中是锥体的底面积，是锥体的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A．B．

C．D．

2．下列命题中的假命题是

A．，B．，

C．，D．，

3．极坐标方程和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是

A．圆、直线B．直线、圆

C．圆、圆D．直线、直线

4．在中，，，则等于

A．B．C．8D．16

5．等于

A．B．C．D．

6．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若，，则

A．a＞bB．a＜b

C．a=bD．a与b的大小关系不能确定

7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为

A．10B．11C．12D．15

8．用表示a，b两数中的最小值，若函数的图象关于直线对称，则t的值为

A．-2B．2C．-1D．1

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

9．已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 .

10．如图1所示，过⊙O外一点P作一直线与⊙O交于A，B

两点.已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB

的长为 .

11．在区间[-1，2]上随机取一个数x，则的概率为 .

12．图2是求的值的程序框图，则正整数．

13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则．

14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则．

15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则，．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最大值；

（II）求函数的零点集合.

17．（本小题满分12分）

图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.

（I）求直方图中x的值；

（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.

18．（本小题满分12分）

如图5所示，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点.

（I）求直线BE和平面ABB₁A₁所成角的正弦值；

（II）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F//平面A₁BE？证明你的结论.

19．（本小题满分13分）

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域．

（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；

（Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

20．（本小题满分13分）

已知函数，对任意，恒有

（I）证明：当时，

（II）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.

21．（本小题满分13分）

数列中，是函数的极小值点.

（I）当a=0时，求通项

（II）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1—4 CBAD 5—8 DABD

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

9．171.81或48.210．611．12．10013．4

14．215．2，

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（I）因为

所以，当，即时，函数取得最大值1.

（II）解法1 由（I）及得，所以

，或即

故函数的零点的集合为

解法2 由得于是，或

即

由；由可知

故函数的零点的集合为

17．解：（I）依题意及频率分布直方图知，

0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,

解得x=0.12.

（II）由题意知，X~B（3，0.1）.

因此

故随机变量X的分布列为

X的数学期望为EX=3×0.1=0.3.

18．解法1 设正方体的棱长为1，如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.

（I）依题意，得B（1，0，0），E（），

A（0，0，0），D（0，1，0），所以

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，因为AD⊥平面

ABB₁A₁，所以是平面ABB₁A₁的一个法向量，

设直线BE和平面ABB₁A₁所成的角为，则

即直线BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值为

（II）依题意，得

设是平面A₁BE的一个法向量，则由，得

所以取

设F是棱C₁D上的点，则F（t，1，1）

又所以

D而平面A₁BE，于是

B₁F//平面A₁BE

为C₁D₁的中点，这说明在棱C₁D₁上存在点F（C₁D₁的中点），使B₁F//平面A₁BE.

解法2（I）如图（a）所示，取AA₁的中点M，连结EM，BM.因为E是DD₁的中点，四边形ADD₁A₂为正方形，所以EM//AD.

又在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD⊥平面ABB₁A₁，所以EM⊥平面ABB₁A₁，从而BM为直线BE在平面ABB₁A₁上的射影，∠EBM为BE和平面ABB₁A₁所成的角.

设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，于是，

在中，

即直线BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值为

（II）在棱C₁D上存在点F，使B₁F//平面A₁BE.

事实上，如图（b）所示，分别取C₁D₁和CD的中点为F，G，连结EG，BG，CD₁，FG.因A₁D₁//B₁C₁//BC，且A₁D₁=BC，所以四边形A₁BCD₁是平行四边形，因此，D₁C//A₁B.又E，G分别为D₁D，CD的中点，所以EG//D₁C，从而EG//A₁B，这说明A₁，B，G，E，共面，所以BG平面A₁BE.

因四边形C₁CDD₁与B₁BCC₁皆为正方形，F，G分别为C₁D₁和CD的中点，所以FG//C₁C//B₁B，且FG=C₁C=B₁B，因此四边形B₁BGF是平行四边形，所以B₁F//BG，而B₁F平面A₁BE，BG平面A₁BE，故B₁F//平面A₁BE.

19．解：（I）设边界曲线上点P的坐标为

当时，由知，点P在以A，B，为焦点，长轴长为的椭圆上，此时短半轴长因而其方程为

故考察区域边界曲线（如图）的方程为

（II）设过点P₁，P₂的直线为，过点P₂，P₃的直线为，则直线的方程分别为

设直线平等于直线，其方程为

代入椭圆方程消去y，得

由解得m=8，或m=-8

从图中可以看出，当m=8时，直线与C₂的公共点到直线的距离最近，此时直线的方程为之间的距离为

又直线到C₁和C₂的最短距离，所以考察区域边界到冰川边界的线的最短距离为3.

设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，

得，所以

故冰川界线移动到考察区域所需的最短时间为4年.

20．解：（I）易知由题设，对任意的即

恒成立，所以，

从而

于是

故当时，有

即当时，

（II）由（I）知，

当时，有

令

而函数的值域是

因此，当时，M的取值集合为

当时，由（I）知，

此时

从而恒成立.

综上所述，M的最小值为

21．解：易知

令

（1）若则

当单调递增；

当单调递减；

当单调递增.

故取得极小值.

（2）若仿（1）得，在取得极小值.

（3）若无极值.

（Ⅰ）当时，由（1）知，

因则由（1）知，

因为，则由（2）知，.

又因为则由（2）知，

由此猜测：当时，

下面先用数学归纳法证明：当时，

事实上，当时，由前面的讨论知结论成立.

假设当成立，则由（2）知，，从而

，

所以

故当时，成立.

于是由（2）知，当时，，因此

综上所述，当a=0时，

（II）存在a，使数列是等比数列，

事实上，由（2）知，若对任意的n，都有，则

即数列是首项为a，公比为3的等比数列，且

而要使，即都成立，只需对一切都成立.记…

令，则，

因此，当时，，从而函数在上单调递减，故当时，数列单调递减，即数列中最大项为于是当时，必有

这说明，当时，数列是等比数列.

当

由（3）知，无极值，不合题意.

当时，可得…，数列不是等比数列.

当由（3）知，无极值，不合题意.

当…，数列不是等比数列.

综上所述，存在a，数列是等比数列，且a的取值范围为