2010年全国高考理科数学试题及答案-福建

2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）

数学试题（理工农医类）

第I 卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于

A．B.C.D.

2.以抛物线y²=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为

1. x²+y²+2x=0 B. x²+y²+x=0

C. x²+y²-x=0 D. x²+y²-2x=0

3.设等差数列｛a_n｝前n项和为S_n. 若a₁= -11,a₄+a₆= -6 ,则当S_n取最小值时，n等于

A.6 B. 7 C.8 D.9

4.函数f（x）=的零点个数为

1. 0 B. 1 C.2 D.3

5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于

A.2 B.3 C.4 D.5

6.如图，若是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EFGH截去几何体EFGHB₁C₁后得到的几何体，其中E为线段A₁B₁上异于B₁的点，F为线段BB₁上异于B₁的点，且EH∥A₁D₁，则下列结论中不正确的是

1. EH∥FG B.四边形EFGH是矩形

C.是棱柱 D. 是棱台

7.若点O和点F（-2，0）分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为

1. [3-,） B. [3+ ,） C. [,） D. [,）

8.设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线3x-4y-9对称。对于中的任意点A与中的任意点B，∣AB∣的最小值等于

1. B. 4 C. D. 2

9.对于复数a,b,c,d，若集合S=｛a,b,c,d｝具有性质“对任意x,yS，必有xyS”，则当时，b+c+d等于

1. 1 B. -1 C. 0 D. i

10.对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k,b为常数），对任给的正数m，存在相应的x₀D，使得当xD且x>x₀时，总有则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“分渐近线”。给出定义域均为D=的四组函数如下：

①f（x）=x²,g(x)=; ②f(x)=10^-x+2，g(x)=;

③f(x)=,g(x)=; ④f(x)= ，g(x)=2(x-1-e^-x).

其中，曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是

A．①④ B.②③ C. ②④ D. ③④

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

11.在等比数列{a_n}中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a_n（ ）

12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于（ ）。

13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（ ）。

14.已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)和g(x)=2cos(2x+)+1的图像的对称轴完全相同。若x,则f(x)的取值范围是（ ）。

15．已知定义域为（0，+）的函数f(x)满足：（1）对任意x(0, +),恒有f(2x)=2f(x)成立；（2）当x(1,2]时，f(x)=2-x。给出结论如下：

①对任意mZ,有f(2^m)=0；②函数f(x)的值域为[0，+）;③存在nZ,使得f(2ⁿ+1)=9;④“函数f(x)在区间（a,b）上单调递减”的充要条件是“存在kZ,使得(a,b)(2^k,2^k+1)”.

其中所有正确结论的序号是（ ）。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分13分）

设S是不等式x²-x-60的解集，整数m,nS。

（Ⅰ）记“使得m+n=0成立的有序数组（m,n）”为事件A，试列举A包含的基本事件；

（Ⅱ）设=m²,求的分布列及其数学期望E。

17.（本小题满分13分）

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2.0）为其右焦点。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由。

18.（本小题满分13分）

如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，

三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。

（Ⅰ）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；

（Ⅱ）设AB=AA₁。在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于

三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率为P。

1. 当点C在圆周上运动时，求P的最大值；
2. 记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为（0°<90°）。当P取最大值时，求cos的值。

19.（本小题满分13分）

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。

（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

20.（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数f(x)=x³-x ,其图像记为曲线C.

1. 求函数f(x)的单调区间；
2. 证明：若对于任意非零实数x₁,曲线C与其在点P₁（x₁,f(x₁)）_）处的切线交于另一点P₂（x₂,f(x₂)），曲线C与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃,f(x₃)），线段P₁P_2,P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则为定值；

（Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax³+bx²+cx+d(a0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。

21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题记分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵M=，N=，且MN=。

（Ⅰ）求实数a,b,c,d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线L的参数方程为 （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=2sin。

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C与直线L交于点A,B。若点P的坐标为（3，），求∣PA∣+∣PB∣。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)= ∣x-a∣.

（Ⅰ）若不等式f(x)3的解集为，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

参考答案

1. 选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分20分。

11.12.13.14.15.①②④

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。满分13分。

解：（I）由得，即

由于，且，所以A包含的基本事件为：

，，，，

（II）由于的所有不同取值为-2，-1,0,1,2,3，

所以的所有不同取值为0,1,4,9，

且有，，，

故的分布列为：

	0	1	4	9
P

所以

17.本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。满分13分。

解法一：

（I）依题意，可设椭圆C的方程为（a>b>0），且可知左焦点为

从而有解得

，

又，所以，故椭圆C的方程为

（II）假设存在符合题意的直线，其方程为

由得

因为直线与椭圆C有公共点，所以，

解得

另一方面，由直线OA与的距离可得，从而。

由于，所以符合题意的直线不存在。

解法二：

（I）依题意，可设椭圆C的方程为（a>b>0），且有：

， 解得或（舍去）。从而

（II）同解法一

18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分13分。

解法一 ：

（I）平面，平面，

是圆O的直径，

又，平面

而平面，

所以平面平面。

（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则

故三棱柱的体积

又

当且仅当时等号成立。

从而，

而圆柱的体积，

故，当且仅当

，即时等号成立。

所以，的最大值等于

（ii）由（i）可知，取最大值时，

于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），

则，，

平面，是平面的一个法向量

设平面的法向量，

取，得平面的一个法向量为

，

解法二：

（I）同解法一

（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则，

故三棱柱的体积

设，

则，，

由于，当且仅当即时等号成立，故

而圆柱的体积，

故，当且仅当即时等号成立。

所以，的最大值等于

（ii）同解法一

解法三：

（I）同解法一

（II）（i）设圆柱的底面半径，则，故圆柱的体积

因为，所以当取得最大值时，取得最大值。

又因为点C在圆周上运动，所以当时，的面积最大。进而，三棱柱的体积最大，且其最大值为

故的最大值等于

（ii）同解法一

19.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，绿茶推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、英语意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。

解法一：

（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

=

=

故当时，，此时

即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。

（II）设小艇与轮船在B出相遇，则

故

，

即，解得

又时，

故时，t取最小值，且最小值等于

此时，在中，有，故可设计寒星方案如下：

航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇

解法二：

（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。

设小艇与轮船在C处相遇。

在中，，

又，

此时，轮船航行时间，

即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。

（II）猜想时，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时

又，所以，解得

据此可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇

证明如下：

如图，由（I）得，，

故，且对于线段上任意点P,

有而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，

故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C）的任意位置相遇。

设，则在中，，

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为

和

所以，

由此可得，

又，故

从而，

由于时，取得最小值，且最小值为

于是，当时，取得最小值，且最小值为

解法三：

（I）同解法一或解法二

（II）设小艇与轮船在B处相遇。依据题意得：

，

（

1. 若，则由

=

得

从而，，

1. 当时，

令，则，，当且仅当即时等号成立。

②当时，同理可得

由①、②得，当时，

1. 若，则

综合（1）、（2）可知，当时，t取最小值，且最小值等于

此时，在中，，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。

20.本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。满分14分。

解法一：

（Ⅰ）（i）有f(x)=x³-x得f’(x)=3x²-1=3(x-)(x+).

当x(,)和(，)时，f’(x)>0;

当x(，)时，f’(x)<0。

（ⅱ）曲线C在点P₁处的切线方程为

y=(3x₁²-1)(x-x₁)+x₁³-x₁，

即y=(3x₁²-1)x-2 x₁³.

由

得x³-x=(3x₁²-1)x-2 x₁³

即（x-x₁）²(x+2x₁)=0,

解得 x=x₁或x=-2x₁,

故x₂=-2x₁.

进而有

用x₂代替x₁,重复上述计算过程，可得x₃= -2x₂和S₂=。

又x₂=-2x₁0，所以S₂=,因此有。

（Ⅱ）记函数g(x)=ax³+bx²+cx+d（a0）的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x₁,曲线C’与其在点P₁（x₁, g(x₁)）处的切线交于另一点P₂（x₂, g(x₂)）,曲线C’与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃, g(x₃)），线段P₁P₂、P₂P₃

与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则为定值。

证明如下：

因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）记函数g(x)=ax³+bx²+cx+d(a0)的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x₁,曲线C’与其在点P₁（x₁, g(x₁)）处的切线交于另一点P₂（x₂, g(x₂)）,曲线C’与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃, g(x₃)），线段P₁P₂、P₂P₃

与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则为定值。

证明如下：

用x₂代替x₁，重复上述计算过程，可得x₃=和。

又x₂=

所以

故

21．（1）选修4-2：矩阵与变换

本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。

解法一：

（Ⅰ）由题设得：

（Ⅱ）因为矩阵M为对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两点（0，0），（1，3），

由

点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点（0，0），（-2，2）.

从而，直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x。

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）设直线y=3x上的任意点（x,y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点（x’,y’），由

由（x,y）的任意性可知，直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y= -x。

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。

解法一：

故由上式及t的几何意义得

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）因为圆C的圆心为（0，），半径r=,直线l的普通方程为：y=-x+3+.

由解得：或

不妨设A（1，2+） ，B（2，1+），又点P的坐标为（3，），

又已知不等式f(x)3的解集为，所以解得a=2.

（Ⅱ）当a=2时，f(x)=∣x-2∣.设g(x)=f(x)+f(x+5)，于是

综上可得，g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)+f(x+5)≥m即g(x) ≥m 对一切实数x 恒成立，则m的取值范围为(-，5].

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）当a=2时，f(x)=∣x-2∣.设g(x)=f(x)+f(x+5).

由∣x-2∣+∣x+3∣≥∣(x-2)-(x+3)∣=5 （当且仅当-3x2时等号成立）得，g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)+f(x+5) ≥m 即 g(x) ≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(-，5].