2011年全国高考文科数学试题及答案-新课标

2011年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M，则P的子集共有

A．2个B．4个C．6个D．8个

2．复数

A．B．C．D．

3．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是

A．B．C．D．

4．椭圆的离心率为

A．B．

C．D．

5．执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是

A．120B． 720

C． 1440 D． 5040

6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

A．B．

C．D．

7．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则=

A．B．C．D．

8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧

视图可以为

9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为

A．18B．24C． 36 D． 48

10．在下列区间中，函数的零点所在的区间为

A．B．C．D．

11．设函数，则

A．在单调递增，其图象关于直线对称

B．在单调递增，其图象关于直线对称

C．在单调递减，其图象关于直线对称

D．在单调递减，其图象关于直线对称

12．已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有

A．10个B．9个C．8个D．1个

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_____________．

14．若变量x，y满足约束条件，则的最小值是_________．

15．中，，则的面积为_________．

16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知等比数列中，，公比．

（I）为的前n项和，证明：

（II）设，求数列的通项公式．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．

（I）证明：；

（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

19．（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组	[90，94）	[94，98）	[98，102）	[102，106）	[106，110]
频数	8	20	42	22	8

B配方的频数分布表

指标值分组	[90，94）	[94，98）	[98，102）	[102，106）	[106，110]
频数	4	12	42	32	10

（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．

（I）求圆C的方程；

（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．

21．（本小题满分12分）

已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（I）求a，b的值；

（II）证明：当x>0，且时，．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根．

（I）证明：C，B，D，E四点共圆；

（II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．

（I）求的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数，其中．

（I）当a=1时，求不等式的解集．

（II）若不等式的解集为｛x|，求a的值．

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参考答案

一、选择题

（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A

（7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A

二、填空题

（13）1 （14）-6 （15）（16）

三、解答题

（17）解：

（Ⅰ）因为

所以

（Ⅱ）

所以的通项公式为

(18)解：

（Ⅰ）因为， 由余弦定理得

从而BD²+AD²= AB²，故BDAD

又PD底面ABCD，可得BDPD

所以BD平面PAD.故PABD

（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E。已知PD底面ABCD，则PDBC。由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD。

故BC平面PBD，BCDE。

则DE平面PBC。

由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，

根据BE·PB=PD·BD，得DE=，

即棱锥D—PBC的高为

（19）解

（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42

（Ⅱ）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.

用B配方生产的产品平均一件的利润为

（元）

(20）解：

（Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（

故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.

则圆C的半径为

所以圆C的方程为

（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：

消去y，得到方程

由已知可得，判别式

因此，从而

①

由于OA⊥OB，可得

又所以

②

由①，②得，满足故

（21）解：

（Ⅰ）

由于直线的斜率为，且过点，故即

解得，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

考虑函数，则

所以当时，故

当时，

当时，

从而当

（22）解：

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC，

即.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

所以C，B，D，E四点共圆。

（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x²-14x+mn=0的两根为x₁=2，x₂=12.

故 AD=2，AB=12.

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=90⁰，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.

故C，B，D，E四点所在圆的半径为5

（23）解：

（I）设P(x，y)，则由条件知M().由于M点在C₁上，所以

即

从而的参数方程为

（为参数）

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。

射线与的交点的极径为，

射线与的交点的极径为。

所以.

（24）解：

（Ⅰ）当时，可化为

。

由此可得或。

故不等式的解集为

或。

(Ⅱ) 由得

此不等式化为不等式组

或

即或

因为，所以不等式组的解集为

由题设可得=，故