2011年全国高考文科数学试题及答案-福建

2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（文史类）

本试卷第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷4至6页。满分150分。

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：

样本数据x₁,x₂,…，x_a的标准差锥体体积公式

其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式球的表面积，体积公式

V=Sh

其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

1．若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N等于

A．｛0，1｝B．｛-1，0，1｝C．｛0，1，2｝D．｛-1，0，1，2｝

2．i是虚数单位1+i³等于

A．iB．-iC．1+iD．1-i

3．若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为

A．6B．8C．10D．12

5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是

A．3B．11

C．38D．123

6．若关于x的方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的

取值范围是

A．（-1,1）

B．（-2,2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

7．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，若在矩形ABCD内部随

机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于

A．B．

C．D．

8．已知函数f（x）=。若f（a）+f（1）=0,则实数a的值等于

A．-3B．-1C．1D．3

9．若a∈（0，），且sin²a+cos2a=，则tana的值等于

A．B．C．D．

10．若a>0,b>0,且函数f（x）=在x=1处有极值，则ab的最大值等于

A．2B．3C．6D．9

11．设圆锥曲线I的两个焦点分别为F₁，F₂，若曲线I上存在点P满足：：=4：3:2，则曲线I的离心率等于

A．B．

C．D．

12．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4。给出如下四个结论：

①2011∈[1]

②-3∈[3]；

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]

④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”。

其中正确结论的个数是

A．1B．2

C．3D．4

第II卷（非选择题 共90分）

注意事项：

用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上。

13．若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_____________．

14．若△ABC的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于_______．

15．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2。，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB₁C，则线段EF的长度等于________．

16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里，x被称为乐观系数。

经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_____________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，a₃=-3．

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）若数列{a_n}的前k项和=-35，求k的值．

18．（本小题满分12分）

如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A。

（I）求实数b的值；

（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

19．（本小题满分12分）

某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；

（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x₁,x₂,x₃，等级系数为5的2件日用品记为y₁,y₂，现从x₁,x₂,x₃,y₁,y₂,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

（I）求证：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积

21．（本小题满分12分）

设函数f（）=，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且。

（1）若点P的坐标为，求的值；

（II）若点P（x，y）为平面区域Ω：，上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的最小值和最大值。

22．（本小题满分14分）

已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。

（I）求实数b的值；

（II）求函数f（x）的单调区间；

（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。

参考答案

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1——12 ADABBCCADDAC

二、填空题：本大题考查基础知识的基本运算，每小题4分，满分16分。

13．1 14．2 15．16．

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．本小题主要考查等差数列的基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分12分。

解：（I）设等差数列的公差为d，则

由

解得d=-2。

从而，

（II）由（I）可知，

所以

进而由

即，解得

又为所求。

18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。

解：（I）由，（*）

因为直线与抛物线C相切，所以

解得b=-1。

（II）由（I）可知，

解得x=2，代入

故点A（2，1），

因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，

即

所以圆A的方程为

19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分12分。

解：（I）由频率分布表得，

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，

所以

等级系数为5的恰有2件，所以，

从而

所以

（II）从日用品中任取两件，

所有可能的结果为：

，

设事件A表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：

共4个，

又基本事件的总数为10，

故所求的概率

20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分

（I）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，

所以

因为

又

所以平面PAD。

（II）由（I）可知，

在中，DE=CD

又因为，

所以四边形ABCE为矩形，

所以

又平面ABCD，PA=1，

所以

21．本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。

解：（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得

于是

（II）作出平面区域（即三角形区域ABC）如图所示，其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）。

于是

又，

且

故当，

取得最大值，且最大值等于2；

当时，

取得最小值，且最小值等于1。

22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。

解：（I）由

（II）由（I）可得

从而

，故：

（1）当

（2）当

综上，当时，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为（0，1）；

当时，函数的单调递增区间为（0，1），

单调递减区间为。

（III）当a=1时，

由（II）可得，当x在区间内变化时，的变化情况如下表：

		-	0	+
		单调递减	极小值1	单调递增	2

又的值域为[1，2]。

据经可得，若，则对每一个，直线y=t与曲线都有公

共点。

并且对每一个，直线与曲线都没有公共点。

综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个，直线y=t

与曲线都有公共点。