2011年全国高考理科数学试题及答案-湖北

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工类）

本试卷三大题21小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题和答题卡一并交上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为虚数单位，则=

A．-B．-1C．D．1

2．已知,则=

A．B．C．D．

3．已知函数，若，则x的取值范围为

A．B．

C．D．

4．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则

A．n=0B．n=1C． n=2 D．n3

5．已知随机变量服从正态分布，且Ｐ（＜4）＝，则Ｐ（0＜＜2）＝

Ａ．0．6B．0．4C．0．3D．0．2

6．已知定义在R上的奇函数和偶函数满足（＞0,且）．若，则=

A．2B．C．D．

7．如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为

A．0．960B．0．864C．0．720D．0．576

8．已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥  b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为

A．[-2，2]B．[-2，3]C．[-3，2]D．[-3，3]

9．若实数a,b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的

A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件

C．充要条件D．即不充分也不必要的条件

10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中M₀为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=

A．5太贝克B．75In2太贝克

C．150In2太贝克D．150太贝克

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其中答案按先后次序填写。答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分。

11．的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示）

12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。（结果用最简分数表示）

13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。

14．如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴一与

轴重合）所在的平面为，。

（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的

坐标为 ；

（Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 。

15．给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分10分）

设的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知

（Ⅰ）求的周长

（Ⅱ）求的值

17．（本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（Ⅰ）当时，求函数的表达式;

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）

18．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．

（Ⅰ）当=1时，求证：⊥；

（Ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值．

19．（本小题满分13分）

已知数列的前项和为，且满足：，N^*，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若存在N^*，使得，，成等差数列，是判断：对于任意的N^*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论．

20．（本小题满分14分）

平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；

（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；

（Ⅱ）设…，均为正数，证明：

（1）若……，则；

（2）若…=1，则

参考答案

一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。

1-10 AABCCBBDCD

二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分。

11．17 12．13．14．（2，2），15．21，43

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分10分）

解：（Ⅰ）

的周长为

（Ⅱ）

，故A为锐角，

17．本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）

解：（Ⅰ）由题意：当；当

再由已知得

故函数的表达式为

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；

当时，

当且仅当，即时，等号成立。

所以，当在区间[20，200]上取得最大值

综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）

解法1：过E作于N，连结EF。

（I）如图1，连结NF、AC₁，由直棱柱的性质知，

底面ABC侧面A₁C。

又度面侧面A，C=AC，且底面ABC，

所以侧面A₁C，NF为EF在侧面A₁C内的射影，

在中，=1，

则由，得NF//AC₁，

又故。

由三垂线定理知

（II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME。

由（I）知侧面A₁C，根据三垂线定理得

所以是二面角C—AF—E的平面角，即，

设

在中，

在

故

又

故当时，达到最小值；

，此时F与C₁重合。

解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

于是

则

故

（II）设，

平面AEF的一个法向量为，

则由（I）得F（0，4，）

，于是由可得

取

又由直三棱柱的性质可取侧面AC₁的一个法向量为，

于是由为锐角可得，

所以，

由，得，即

故当，即点F与点C₁重合时，取得最小值

19．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分13分）

解：（I）由已知可得，两式相减可得

即

又所以r=0时，

数列为：a，0，…，0，…；

当时，由已知（），

于是由可得，

成等比数列，

，

综上，数列的通项公式为

（II）对于任意的，且成等差数列，证明如下：

当r=0时，由（I）知，

对于任意的，且成等差数列，

当，时，

若存在，使得成等差数列，

则，

由（I）知，的公比，于是

对于任意的，且

成等差数列，

综上，对于任意的，且成等差数列。

20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）

解：（I）设动点为M，其坐标为，

当时，由条件可得

即，

又的坐标满足

故依题意，曲线C的方程为

当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；

当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；

当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；

当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。

（II）由（I）知，当m=-1时，C₁的方程为

当时，

C₂的两个焦点分别为

对于给定的，

C₁上存在点使得的充要条件是

②

①

由①得由②得

当

或时，

存在点N，使S=|m|a²；

当

或时，

不存在满足条件的点N，

当时，

由，

可得

令，

则由，

从而，

于是由，

可得

综上可得：

当时，在C₁上，存在点N，使得

当时，在C₁上，存在点N，使得

当时，在C₁上，不存在满足条件的点N。

21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分）

解：（I）的定义域为，令

当在（0，1）内是增函数；

当时，内是减函数；

故函数处取得最大值

（II）（1）由（I）知，当时，

有

，从而有，

得，

求和得

即

（2）①先证

令

则于是

由（1）得，即

②再证

记，

则，

于是由（1）得

即

综合①②，（2）得证。