2011年全国高考理科数学试题及答案-湖南

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

参考公式：（1），其中为两个事件，且，

（2）柱体体积公式，其中为底面面积，为高。

（3）球的体积公式，其中为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.若，为虚数单位，且，则（ ）

A．B．C．D．

答案：D

解析：因，根据复数相等的条件可知。

2.设，，则“”是“”则（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

答案：A

解析：因“”，即，满足“”，反之“”，则，或，不一定有“”。

3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．B．

C．D．

答案：B

解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。

4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

由算得

附表：

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

参照附表，得到的正确结论是（ ）

A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

答案：C

解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选C.

5.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

答案：C

解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。

6. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）

A． B．1 C．D．

答案：D

解析：由定积分知识可得，故选D。

7. 设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．

答案：A

解析：画出可行域，可知在点取最大值，由解得。

8.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）

A．1 B．C．D．

答案：D

解析：由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小。即。

二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

9.在直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 。

答案：2

解析：曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.

10.设,则的最小值为 。

答案：9

解析：由柯西不等式可知。

11.如图2，是半圆周上的两个三等分点，直径，

,垂足为D,与相交与点F，则的长为 。

答案：

解析：由题可知，，,得,，

又，所以.

二、必做题（12~16题）

12、设是等差数列的前项和，且，则

答案：25

解析：由可得，所以。

13、若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 。

答案：

解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，

则。

14、在边长为1的正三角形中，设，则。

答案：

解析：由题，，

所以。

15、如图4，是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则

（1）；（2）

答案：（1）；（2）

解析：（1）由几何概型概率计算公式可得；

（2）由条件概率的计算公式可得。

16、对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则

（1）（2）

答案：（1）2；（2）

解析：（1）因，故；

（2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有个，……有个0的有个，……有个0的有个。故对所有2进制为位数的数，在所求式中的的和为：

。

又恰为2进制的最大7位数，所以。

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.

（I）求角的大小；

（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．

解析：（I）由正弦定理得

因为所以

（II）由（I）知于是

取最大值2．

综上所述，的最大值为2，此时

18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。

(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；

（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。

解析：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量1件”）=。

（II）由题意知，的可能取值为2，3.

；

故的分布列为

	2	3

的数学期望为。

19.（本题满分12分）如图5，在圆锥中，已知的直径的中点．

（I）证明：

（II）求二面角的余弦值．

解：（I）连接，因为,为的中点，所以.

又因为内的两条相交直线，所以而，所以。

（II）在平面中，过作于，由（I）知，,所以又所以.

在平面中，过作连接,则有，

从而，所以是二面角的平面角．

在

在

在

在,所以。

故二面角的余弦值为。

20. 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。

（Ⅰ）写出的表达式

（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。

解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，

故.

（II）由(I)知，当时，

当时，

故。

1. 当时，是关于的减函数.故当时，。
2. 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。

1. (本小题满分13分）

如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。

（Ⅰ）求，的方程；

（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.

（i）证明：；

(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?

请说明理由。

解析：（I）由题意知，从而，又，解得。

故，的方程分别为。

（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.

由得，

设，则是上述方程的两个实根，于是。

又点的坐标为，所以

故，即。

（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为

又直线的斜率为，同理可得点B的坐标为.

于是

由得，

解得或，则点的坐标为；

又直线的斜率为，同理可得点的坐标

于是

因此

由题意知，解得或。

又由点的坐标可知，，所以

故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。

22.（本小题满分13分）

已知函数() =，g ()=+。

（Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；

（Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .

解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点

解法1：，记，则。

当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；

所以，

当时，单调递减，而，则在内无零点；

当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；

从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。

解法2：，记，则。

当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，

综上所述，有且只有两个零点。

（II）记的正零点为，即。

（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设当时，有成立，则当时，由

知，，因此，当时，成立。

故对任意的，成立。

（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设当时，有成立，则当时，由

知，，因此，当时，成立。

故对任意的，成立。

综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.